∫ calculus

1. **State the problem:** Find the maximum and minimum values of the function $f(x,y) = x^2 + y^2$ subject to the constraint $x^2 + y^2 = 1$ using Lagrange multipliers. 2. **Recall

1. **State the problem:** We have a piecewise function $$h(z) = \begin{cases} 6z & \text{if } z \leq -4 \\ 1 - 9z & \text{if } z > -4 \end{cases}$$

1. **State the problem:** Evaluate the integral $$\int \frac{x+1}{x + 2\sqrt{x} - 3} \, dx.$$\n\n2. **Substitution:** Let $$y = \sqrt{x}$$ so that $$x = y^2$$ and $$dx = 2y \, dy.$

1. সমস্যাটি হলো: $y=2^x$ ফাংশনের ডেরিভেটিভ নির্ণয় করা এবং নির্ধারিত বিন্দু $A(-5,0)$, $B(4,3)$, এবং $C(-7,-6)$ এ ডেরিভেটিভের মান বের করা। 2. সূত্র: যেকোনো ধ্রুবক ভিত্তির সূচকীয় ফ

1. The user asked to solve their final practice exam for Calculus 3, which likely contains multiple problems. 2. According to the instructions, I must identify the number of distin

1. **State the problem:** Find the limit $$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{27x - 81}}{x^2 - 2x - 3}$$. 2. **Analyze the expression:** The numerator is the cube root of $$27x - 81$$ a

1. ปัญหาคือการวิเคราะห์ฟังก์ชัน $f(x) = 3e^{2x}$ โดยมีค่าคงที่ $B = 0.7$ ซึ่งอาจใช้ในการเปรียบเทียบหรือการแปลงฟังก์ชัน 2. ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่มีฐาน $e$ ซึ่งเป็

1. ปัญหาคือการแก้โจทย์ข้อที่ 32 ซึ่งเป็นแคลคูลัส (Calculus) โดยปกติจะเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ อินทิกรัล หรือการวิเคราะห์ฟังก์ชัน 2. สูตรพื้นฐานที่ใช้ในแคลคูลัส เช่น

1. ปัญหา: หาค่าของฟังก์ชันอนุกรมกำลัง $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1} (3n+1)! (x-1)^n$$ 2. สูตรและกฎสำคัญ: ฟังก์ชันนี้เป็นอนุกรมกำลังที่มีพจน์ทั่วไป $$a_n = (-1)^{n-1} (3n+1)

1. Problem 25: Show that the equation $x^3 - 15x + c = 0$ has at most one solution in the interval $[-2,2]$. 2. We use the fact that if a function is strictly monotonic (always inc

1. **Problem statement:** Differentiate the function $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ using the quotient rule. 2. **Formula:** The quotient rule states:

1. The problem is to find the derivative $y'$ for the equation $$\frac{x}{y^3} = 1$$ using two methods: (a) solving explicitly for $y$ and then differentiating, and (b) using impli

1. **Stating the problem:** Calculate the limit $$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 4}{x + 2}\right)^x.$$\n\n2. **Recall the formula and rules:** For limits of the form $$\lim_{

1. Given the piecewise function: $$f(x) = \begin{cases} 2 & \text{if } x=0 \\ \frac{x}{\sin(\pi x)} & \text{if } x \neq 0 \end{cases}$$

1. The problem is to calculate the integral, but the function to integrate is not specified. 2. To solve an integral, we need the function and the limits (if definite).

1. The problem is to calculate the definite integral of the function $x^2$ from 0 to 100. 2. The formula for the definite integral of a function $f(x)$ from $a$ to $b$ is:

1. **Problem:** Find the range of the function $$f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 5}$$. 2. **Formula and rules:** The function inside the square root must be non-negative for real values, b

1. Let's solve an integral example: Find the integral of $f(x) = 3x^2$ with respect to $x$. 2. The formula for the integral of a power function $x^n$ is:

1. Let's solve an example integral: $$\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx$$. 2. The formula for integrating a power function is $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ where $n \neq -1

1. Let's solve an example integral: $$\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx$$. 2. The formula for integrating a power function is $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ where $n \neq -1

1. The problem is to find the integral of a function, which means finding the antiderivative or the area under the curve of the function. 2. The general formula for the indefinite