1. সমস্যাটি হলো: $y=2^x$ ফাংশনের ডেরিভেটিভ নির্ণয় করা এবং নির্ধারিত বিন্দু $A(-5,0)$, $B(4,3)$, এবং $C(-7,-6)$ এ ডেরিভেটিভের মান বের করা। 2. সূত্র: যেকোনো ধ্রুবক ভিত্তির সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ হলো $$\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln(a)$$ যেখানে $a>0$ এবং $a \neq 1$। এখানে $a=2$। 3. ডেরিভেটিভ নির্ণয়: $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}2^x = 2^x \ln(2)$$ 4. নির্ধারিত বিন্দুতে ডেরিভেটিভের মান: - বিন্দু $A(-5,0)$ এ: $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-5} = 2^{-5} \ln(2) = \frac{\ln(2)}{32}$$ - বিন্দু $B(4,3)$ এ: $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=4} = 2^{4} \ln(2) = 16 \ln(2)$$ - বিন্দু $C(-7,-6)$ এ: $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-7} = 2^{-7} \ln(2) = \frac{\ln(2)}{128}$$ 5. সহজ ভাষায়: $y=2^x$ এর ডেরিভেটিভ একই ফাংশনের মতোই কিন্তু $\ln(2)$ দ্বারা গুণিত। নির্দিষ্ট $x$ মানে ফাংশনের ডেরিভেটিভ মান বের করতে $2^x$ এর মান বের করে $\ln(2)$ দিয়ে গুণ করতে হবে। সুতরাং, নির্ধারিত বিন্দুতে ডেরিভেটিভের মান হলো: - $A(-5,0)$: $\frac{\ln(2)}{32}$ - $B(4,3)$: $16 \ln(2)$ - $C(-7,-6)$: $\frac{\ln(2)}{128}$