1. ปัญหา: หาค่าของฟังก์ชันอนุกรมกำลัง $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1} (3n+1)! (x-1)^n$$ 2. สูตรและกฎสำคัญ: ฟังก์ชันนี้เป็นอนุกรมกำลังที่มีพจน์ทั่วไป $$a_n = (-1)^{n-1} (3n+1)! (x-1)^n$$ ซึ่ง factorial $(3n+1)!$ โตเร็วมาก ทำให้อนุกรมนี้มีโอกาสไม่ลู่เข้าหรือมีรัศมีการลู่เข้าเป็น 0 3. การวิเคราะห์รัศมีการลู่เข้า: ใช้สูตรรัศมีการลู่เข้า $$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 4. คำนวณ $$\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{(3n+1)!} \cdot |x-1|$$ 5. โดย Stirling's approximation, $$(3n+1)! \approx \sqrt{2\pi(3n+1)} \left(\frac{3n+1}{e}\right)^{3n+1}$$ ดังนั้น $$\sqrt[n]{(3n+1)!} \approx \frac{3n+1}{e}$$ เมื่อ $n \to \infty$ จะโตไปทางอนันต์ 6. ดังนั้น $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \infty$$ ทำให้รัศมีการลู่เข้า $$R = 0$$ 7. สรุป: อนุกรมนี้ลู่เข้าเฉพาะที่ $$x=1$$ เท่านั้น 8. คำตอบสุดท้าย: ฟังก์ชัน $$f(x)$$ มีรัศมีการลู่เข้า $$R=0$$ และลู่เข้าที่จุด $$x=1$$ เท่านั้น