1. مسئله: نقطه $P(1-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ روی دایره مثلثاتی قرار دارد و باید مقدار $\cot \alpha$ را پیدا کنیم. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - در دایره مثلثاتی، مختصات نقطه روی دایره به صورت $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ است. - $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. 3. محاسبه: - مختصات نقطه $P$ برابر است با $\left(1-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = \left(\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)$. - بنابراین $\cos \alpha = \frac{2}{5}$ و $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. - مقدار $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. 4. پاسخ: مقدار $\cot \alpha$ برابر است با $\frac{1}{2}$. 5. مسئله دوم: دوره تناوب تابع $f(x) = 1 - 3 \cos(m \pi x)$ برابر $\frac{2}{3}$ است. دوره تناوب تابع $g(x) = 4 \sin \frac{\pi}{m} x$ را بیابید. 6. فرمول‌ها و نکات مهم: - دوره تناوب تابع $\cos(kx)$ یا $\sin(kx)$ برابر است با $\frac{2\pi}{|k|}$. - برای تابع $f(x) = 1 - 3 \cos(m \pi x)$، دوره تناوب برابر است با $\frac{2\pi}{m \pi} = \frac{2}{m}$. 7. محاسبه دوره تناوب $f(x)$: - داده شده دوره تناوب $f(x) = \frac{2}{3}$. - پس $\frac{2}{m} = \frac{2}{3} \Rightarrow m = 3$. 8. محاسبه دوره تناوب $g(x) = 4 \sin \frac{\pi}{m} x$: - ضریب داخل سینوس $k = \frac{\pi}{m} = \frac{\pi}{3}$. - دوره تناوب $T_g = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 2\pi \times \frac{3}{\pi} = 6$. 9. پاسخ: دوره تناوب تابع $g(x)$ برابر است با $6$.