1. Énoncé du problème : Démontrer que la réunion quelconque et l'intersection finie de voisinages de $a$ dans le corps $K \cup \{-\infty\}$ sont aussi des voisinages de $a$. 2. Rappel des définitions : Un voisinage de $a$ est un ensemble qui contient un intervalle ouvert autour de $a$. Dans $K \cup \{-\infty\}$, on considère la topologie induite par l'ordre, où $-\infty$ est un point ajouté pour compléter le corps. 3. Propriété 1 : Réunion quelconque de voisinages de $a$ est un voisinage de $a$. - Soit $\{V_i\}_{i \in I}$ une famille de voisinages de $a$. - Chaque $V_i$ contient un intervalle ouvert $I_i$ autour de $a$. - La réunion $\bigcup_{i \in I} V_i$ contient donc $\bigcup_{i \in I} I_i$, qui est un intervalle ouvert autour de $a$. - Ainsi, $\bigcup_{i \in I} V_i$ est un voisinage de $a$. 4. Propriété 2 : Intersection finie de voisinages de $a$ est un voisinage de $a$. - Soit $V_1, V_2, ..., V_n$ des voisinages de $a$. - Chaque $V_j$ contient un intervalle ouvert $I_j$ autour de $a$. - L'intersection $\bigcap_{j=1}^n V_j$ contient l'intersection $\bigcap_{j=1}^n I_j$. - L'intersection finie d'intervalles ouverts autour de $a$ est un intervalle ouvert autour de $a$ (car $a$ est dans tous ces intervalles). - Donc, $\bigcap_{j=1}^n V_j$ contient un intervalle ouvert autour de $a$, donc c'est un voisinage de $a$. 5. Conclusion : La réunion quelconque et l'intersection finie de voisinages de $a$ dans $K \cup \{-\infty\}$ sont des voisinages de $a$ car elles contiennent toutes un intervalle ouvert autour de $a$. Ceci est une propriété fondamentale des voisinages dans une topologie d'ordre, assurant la stabilité des voisinages sous ces opérations.