1. Énoncé du problème : Nous avons un ensemble non vide $E$ et un ensemble $A$ qui est un sous-ensemble de $\mathcal{P}(E)$, l'ensemble des parties de $E$. La définition demande d'expliquer la topologie engendrée par $A$, notée $\mathcal{T}_A$. 2. Définition de la topologie engendrée : La topologie engendrée par $A$ est définie comme l'intersection de toutes les topologies sur $E$ qui contiennent $A$. Formellement, $$ \mathcal{T}_A = \bigcap \{ \mathcal{T} \mid \mathcal{T} \text{ est une topologie sur } E \text{ et } A \subseteq \mathcal{T} \}. $$ Cela signifie que $\mathcal{T}_A$ est la plus petite topologie sur $E$ qui contient tous les éléments de $A$. 3. Explication en français simple : - Une topologie sur un ensemble $E$ est une collection de sous-ensembles de $E$ qui contient $E$ et l'ensemble vide, et qui est stable par union arbitraire et intersection finie. - Si on a un ensemble $A$ de parties de $E$, on peut vouloir construire une topologie qui contient toutes ces parties. - Il existe plusieurs topologies qui contiennent $A$, mais parmi elles, il y a une plus petite, c'est-à-dire celle qui contient exactement ce qu'il faut pour être une topologie et inclure $A$. - Cette plus petite topologie est obtenue en prenant l'intersection de toutes les topologies contenant $A$. 4. Conclusion : La topologie engendrée par $A$ est donc la topologie la plus fine (la plus petite) qui contient tous les éléments de $A$. Elle est notée $\mathcal{T}_A$ et est définie par $$ \mathcal{T}_A = \bigcap \{ \mathcal{T} \mid \mathcal{T} \text{ est une topologie sur } E, A \subseteq \mathcal{T} \}. $$