1. Énoncé du problème : Définir la topologie engendrée par un ensemble $A \subset \mathcal{P}(E)$, où $E$ est un ensemble non vide. 2. Définition : La topologie engendrée par $A$, notée $\mathcal{T}(A)$, est l'intersection de toutes les topologies sur $E$ qui contiennent $A$. 3. Formule : $$\mathcal{T}(A) = \bigcap \{ \mathcal{T} \mid \mathcal{T} \text{ est une topologie sur } E \text{ et } A \subset \mathcal{T} \}$$ 4. Explication : - Une topologie sur $E$ est une collection $\mathcal{T}$ de parties de $E$ qui contient $\varnothing$ et $E$, est stable par union arbitraire et intersection finie. - $A$ est un ensemble de parties de $E$ que l'on souhaite inclure dans la topologie. - La topologie engendrée par $A$ est la plus petite topologie contenant $A$, obtenue en prenant l'intersection de toutes les topologies contenant $A$. 5. Importance : Cette construction garantit que $\mathcal{T}(A)$ est bien une topologie et que $A$ est inclus dans $\mathcal{T}(A)$. 6. Remarque : Cette définition est fondamentale en topologie pour construire des topologies à partir d'un ensemble générateur $A$.