1. Énoncé du problème : Nous avons deux bases de voisinages pour tout $x \in \mathbb{R}$. 2. Première base de voisinages $s(x)$ : $$s(x) = \{]x-\varepsilon, x+\varepsilon[, \varepsilon > 0\}$$ Cela signifie que pour chaque point $x$, la base de voisinages est constituée des intervalles ouverts centrés en $x$ avec un rayon $\varepsilon$ strictement positif. 3. Deuxième base de voisinages $s'(x)$ : $$s'(x) = \{]x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}[, n \in \mathbb{N}^*\}$$ Ici, la base de voisinages est constituée des intervalles ouverts centrés en $x$ avec un rayon $\frac{1}{n}$ où $n$ est un entier naturel non nul. 4. Explication : - Une base de voisinages d'un point $x$ est une collection d'ensembles ouverts contenant $x$ tels que tout voisinage de $x$ contient au moins un de ces ensembles. - Dans $s(x)$, on utilise un paramètre continu $\varepsilon > 0$ pour définir les intervalles. - Dans $s'(x)$, on utilise une suite décroissante de rayons $\frac{1}{n}$ pour définir les intervalles. 5. Conclusion : Les deux collections $s(x)$ et $s'(x)$ sont des bases de voisinages pour tout $x \in \mathbb{R}$ car elles satisfont la définition d'une base de voisinages dans la topologie usuelle de $\mathbb{R}$.