1. Bài 1 yêu cầu tính tổng chuỗi vô hạn $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 5^n}{7^{3n-1}}.$$\n\n2. Ta tách tổng thành hai tổng riêng biệt:\n$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^{3n-1}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{7^{3n-1}}.$$\n\n3. Viết lại các biểu thức:\n$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^{3n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^{3n} \cdot 7^{-1}} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7^3}\right)^n = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{343}\right)^n,$$\n$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{7^{3n-1}} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{5}{7^3}\right)^n = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{5}{343}\right)^n.$$\n\n4. Cả hai đều là chuỗi hình học với công bội $r_1 = \frac{1}{343}$ và $r_2 = \frac{5}{343}$, đều thỏa mãn $|r|<1$, nên tổng của chuỗi hình học vô hạn là:\n$$\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}.$$\n\n5. Tính từng tổng:\n$$S_1 = 7 \cdot \frac{\frac{1}{343}}{1 - \frac{1}{343}} = 7 \cdot \frac{1/343}{342/343} = 7 \cdot \frac{1}{342} = \frac{7}{342},$$\n$$S_2 = 7 \cdot \frac{\frac{5}{343}}{1 - \frac{5}{343}} = 7 \cdot \frac{5/343}{338/343} = 7 \cdot \frac{5}{338} = \frac{35}{338}.$$\n\n6. Tổng chuỗi ban đầu là:\n$$S = S_1 + S_2 = \frac{7}{342} + \frac{35}{338} = \frac{7 \cdot 338 + 35 \cdot 342}{342 \cdot 338} = \frac{2366 + 11970}{115596} = \frac{14336}{115596}.$$\n\n7. Rút gọn phân số nếu có thể. Ta thấy 14336 và 115596 đều chia hết cho 4:\n$$\frac{14336}{115596} = \frac{3584}{28899}.$$\n\nVậy tổng chuỗi là $$\boxed{\frac{3584}{28899}}.$$