1. **Nêu bài toán:** Từ tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm, cắt 2 hình vuông nhỏ cạnh $x$ cm ở hai góc liền kề, và 2 hình chữ nhật có chiều rộng $x$ cm, chiều dài $y$ cm ở hai góc còn lại. Gấp phần còn lại thành hộp chữ nhật có nắp. Tìm tổng diện tích các phần cắt bỏ khi thể tích hộp lớn nhất. 2. **Xác định kích thước hộp:** - Chiều dài hộp: $12 - 2x$ (do cắt 2 hình vuông cạnh $x$ ở hai góc liền kề) - Chiều rộng hộp: $12 - 2y$ (do cắt 2 hình chữ nhật chiều dài $y$ ở hai góc còn lại) - Chiều cao hộp: $x$ (chiều cao bằng cạnh hình vuông cắt) 3. **Thể tích hộp:** $$V = (12 - 2x)(12 - 2y) x$$ 4. **Mối quan hệ giữa $x$ và $y$:** Phần bìa còn lại được gấp thành hộp có nắp, nên chiều cao hộp là $x$, chiều rộng là $12 - 2y$, chiều dài là $12 - 2x$. Để gấp được, chiều rộng phần nắp phải bằng chiều cao, tức là: $$y = x$$ 5. **Thể tích theo $x$:** Thay $y = x$ vào: $$V = (12 - 2x)(12 - 2x) x = (12 - 2x)^2 x$$ 6. **Tìm $x$ để $V$ lớn nhất:** Phân tích: $$V = x(12 - 2x)^2 = x(144 - 48x + 4x^2) = 144x - 48x^2 + 4x^3$$ Đạo hàm: $$V' = 144 - 96x + 12x^2$$ Giải $V' = 0$: $$12x^2 - 96x + 144 = 0$$ $$x^2 - 8x + 12 = 0$$ Giải phương trình bậc hai: $$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$$ Hai nghiệm: - $x = \frac{8 + 4}{2} = 6$ - $x = \frac{8 - 4}{2} = 2$ 7. **Kiểm tra nghiệm hợp lý:** - Với $x=6$, chiều dài hộp $12 - 2x = 0$ không hợp lý. - Với $x=2$, chiều dài hộp $12 - 4 = 8 > 0$ hợp lý. 8. **Tính tổng diện tích các phần cắt bỏ:** - Diện tích 2 hình vuông cắt: $2x^2 = 2 \times 2^2 = 8$ - Diện tích 2 hình chữ nhật cắt: $2 \times x \times y = 2 \times 2 \times 2 = 8$ Tổng diện tích cắt bỏ: $$8 + 8 = 16$$ **Kết luận:** Tổng diện tích các phần cắt bỏ khi thể tích hộp lớn nhất là **16 cm²**.