1. مسئله: نشان دهید که برای ماتریس $A$ تعریف شده در مسئله، مقادیر نُرم‌ها به صورت زیر است: $$\|A\|_\infty = 3 \quad \text{و} \quad \|A\|_1 \leq \frac{10}{3}$$ 2. تعریف نُرم‌ها و نکات مهم: - نُرم بی‌نهایت (سطرها): $$\|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$$ - نُرم 1 (ستون‌ها): $$\|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|$$ 3. محاسبه نُرم بی‌نهایت: - هر سطر $i$ از $A$ شامل سه مقدار غیر صفر است: - قطر اصلی: 2 - یکی از $bc_i$ یا $bb_i$ (هر کدام بین 0 و 1 است چون $$\lambda_i = \frac{h_i}{h_{i-1}+h_i}$$ و $$\mu_i = \frac{h_{i-1}}{h_{i-1}+h_i}$$) - در سطر اول و آخر، به دلیل شرایط دور، مقدار اضافی در گوشه‌ها وجود دارد. - برای سطر اول: $$|2| + |\mu_1| + |\lambda_1| = 2 + \mu_1 + \lambda_1 = 2 + 1 = 3$$ - برای سطرهای میانی: $$|\lambda_i| + 2 + |\mu_i| = \lambda_i + 2 + \mu_i = 1 + 2 = 3$$ - برای سطر آخر: مشابه سطر اول، مجموع برابر 3 است. - پس: $$\|A\|_\infty = 3$$ 4. محاسبه نُرم 1: - ستون‌ها شامل ترکیبی از 2، $bb_i$ و $bc_i$ هستند. - با توجه به شرط $$\frac{1}{2} \leq \frac{h_i}{h_{i-1}} \leq 2$$، می‌توان ثابت کرد که: $$\lambda_i, \mu_i \leq \frac{2}{3}$$ - بنابراین، بیشینه مجموع مقادیر هر ستون کمتر یا مساوی است با: $$2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$$ - پس: $$\|A\|_1 \leq \frac{10}{3}$$ 5. نتیجه: $$\boxed{\|A\|_\infty = 3 \quad \text{و} \quad \|A\|_1 \leq \frac{10}{3}}$$