1) Tentukan titik-titik ekstrem pada persamaan: a.) $y = 12 \ln x + 4x^2 - 10x$ 1. Titik ekstrem ditemukan dengan mencari turunan pertama dan menyamakannya dengan nol. 2. Turunan pertama: $$y' = \frac{12}{x} + 8x - 10$$ 3. Cari nilai $x$ yang memenuhi: $$\frac{12}{x} + 8x - 10 = 0$$ 4. Kalikan dengan $x$ untuk menghilangkan pecahan: $$12 + 8x^2 - 10x = 0$$ 5. Susun ulang: $$8x^2 - 10x + 12 = 0$$ 6. Gunakan rumus kuadrat: $$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 12}}{2 \cdot 8} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 384}}{16}$$ 7. Karena diskriminan negatif ($100 - 384 = -284$), tidak ada titik ekstrem nyata. b.) $y = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 1$ 1. Turunan pertama: $$y' = 6x^2 - 12x + 4$$ 2. Cari $x$ dengan $y' = 0$: $$6x^2 - 12x + 4 = 0$$ 3. Bagi semua dengan 2: $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$ 4. Gunakan rumus kuadrat: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}$$ 5. Sederhanakan: $$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 6. Titik ekstrem di $x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ dan $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$. c.) $y = x(x - 1)(x - 2)$ 1. Perluas fungsi: $$y = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$$ 2. Turunan pertama: $$y' = 3x^2 - 6x + 2$$ 3. Cari $x$ dengan $y' = 0$: $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$ 4. Gunakan rumus kuadrat: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 5. Titik ekstrem di $x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ dan $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$. 2) Tentukan titik bakar & persamaan garis singgungnya: a.) $y = x^4 - 10x^2 + 7x + 9$ 1. Titik bakar adalah titik di mana garis singgung menyentuh kurva dan memiliki kemiringan yang sama dengan kurva di titik tersebut. 2. Turunan pertama: $$y' = 4x^3 - 20x + 7$$ 3. Titik bakar terjadi jika garis singgung menyentuh kurva di satu titik, yaitu ketika persamaan $y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)$ memiliki akar ganda. 4. Misalkan $x_0$ adalah titik bakar, maka: $$y_0 = x_0^4 - 10x_0^2 + 7x_0 + 9$$ 5. Persamaan garis singgung: $$y = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)$$ 6. Untuk menemukan $x_0$, kita cari nilai $x$ sehingga persamaan $$x^4 - 10x^2 + 7x + 9 = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)$$ memiliki akar ganda. 7. Ini memerlukan metode numerik atau analisis lebih lanjut, jadi kita cari titik di mana diskriminan dari persamaan kuadrat dalam $x$ sama dengan nol. b.) $y = \frac{x^3}{2} - x^2 - 2x + 5$ 1. Turunan pertama: $$y' = \frac{3x^2}{2} - 2x - 2$$ 2. Sama seperti sebelumnya, titik bakar terjadi jika garis singgung menyentuh kurva di satu titik. 3. Misalkan $x_0$ titik bakar, maka: $$y_0 = \frac{x_0^3}{2} - x_0^2 - 2x_0 + 5$$ 4. Persamaan garis singgung: $$y = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)$$ 5. Cari $x_0$ sehingga persamaan $$\frac{x^3}{2} - x^2 - 2x + 5 = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)$$ memiliki akar ganda. 6. Ini juga memerlukan metode numerik untuk penyelesaian tepat. Slug: "titik ekstrem dan bakar" Subject: "kalkulus" Desmos: {"latex":"y = x(x - 1)(x - 2)","features":{"intercepts":true,"extrema":true}} q_count: 5