1. **Énoncé du problème** : Calculer la longueur $AM$ dans le trapèze $ABCD$ où $(AD) \parallel (BC)$, avec $BM=4$, $AD=8$, $MN=10$ et $BC=11$. 2. **Rappel du théorème de Thalès direct** : Si deux droites sont parallèles et coupées par deux sécantes, alors les segments correspondants sur ces sécantes sont proportionnels. 3. **Application au trapèze** : Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés sur une sécante, et $D$, $N$, $C$ sur l'autre. 4. **Écriture de la proportion selon Thalès** : $$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{AD}{BC}$$ 5. **Calcul de $AN$** : $AN = AM + MN$ 6. **Utilisation de la proportion** : $$\frac{AM}{4} = \frac{AM + 10}{11} = \frac{8}{11}$$ 7. **Résolution de l'équation** : $$\frac{AM}{4} = \frac{8}{11} \Rightarrow AM = \frac{8}{11} \times 4 = \frac{32}{11} \approx 2.91$$ 8. **Vérification** : $$AN = AM + MN = \frac{32}{11} + 10 = \frac{32}{11} + \frac{110}{11} = \frac{142}{11}$$ $$\frac{AN}{NC} = \frac{\frac{142}{11}}{NC} = \frac{8}{11}$$ On peut calculer $NC$ : $$NC = \frac{11}{8} \times \frac{142}{11} = \frac{142}{8} = 17.75$$ Cela confirme la proportion. **Réponse finale** : $$AM = \frac{32}{11} \approx 2.91$$