1. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 6 cm (Basis) und 4 cm (Höhe) sowie ein Quadrat mit Seitenlänge $x$, das in der Ecke des Dreiecks liegt. 2. Gesucht ist die Seitenlänge $x$ des Quadrats mithilfe des 2. Strahlensatzes. 3. Der 2. Strahlensatz besagt: Wenn zwei Strahlen von einem Punkt ausgehen und von zwei Parallelen geschnitten werden, dann verhalten sich die Abschnitte auf den Strahlen proportional. 4. Im Dreieck ist das Quadrat so platziert, dass es die Katheten in Abschnitte $x$ und $6 - x$ bzw. $x$ und $4 - x$ unterteilt. 5. Die Proportionalität nach dem 2. Strahlensatz lautet: $$\frac{x}{6} = \frac{4 - x}{x}$$ 6. Kreuzmultiplikation ergibt: $$x \cdot x = 6 \cdot (4 - x)$$ $$x^2 = 24 - 6x$$ 7. Umstellen zu einer quadratischen Gleichung: $$x^2 + 6x - 24 = 0$$ 8. Lösung der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel: $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 96}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{132}}{2}$$ 9. Wurzel vereinfachen: $$\sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2\sqrt{33}$$ 10. Somit: $$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{33}}{2} = -3 \pm \sqrt{33}$$ 11. Da $x$ eine Länge ist, ist nur die positive Lösung sinnvoll: $$x = -3 + \sqrt{33} \approx -3 + 5{,}7446 = 2{,}7446$$ 12. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt also ungefähr $2{,}74$ cm.