1. Problema: Avem un triunghi ABC în care bisectoarea unghiului A și mediatoarea laturii BC se intersectează în punctul D. 2. Se dau segmentele DE ⟂ AB și DF ⟂ AC, iar cerința este să determinăm raportul $\frac{BE}{CF}$. 3. Observații importante: - Punctul D este pe bisectoarea unghiului A, deci în triunghiul ABC, D împarte unghiul A în două unghiuri egale. - D este și pe mediatoarea laturii BC, deci D este echidistant de B și C, adică $DB = DC$. 4. Deoarece D este pe mediatoarea BC, $DB = DC$. 5. Deoarece DE este perpendiculară pe AB și DF este perpendiculară pe AC, punctele E și F sunt proiecțiile ortogonale ale lui D pe laturile AB și AC. 6. În triunghiul ABC, bisectoarea unghiului A împarte latura BC în raportul laturilor adiacente, adică: $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$ Dar știm că $DB = DC$ (deoarece D este pe mediatoarea BC), deci $\frac{BD}{DC} = 1$. 7. Din egalitatea de mai sus rezultă că $\frac{AB}{AC} = 1$, deci $AB = AC$. 8. Triunghiul ABC este isoscel cu $AB = AC$. 9. Într-un triunghi isoscel, proiecțiile ortogonale ale unui punct de pe bisectoarea unghiului A pe laturile AB și AC sunt astfel încât segmentele BE și CF sunt egale. 10. Deci raportul cerut este: $$\frac{BE}{CF} = 1$$ Răspunsul corect este E: 1.