1. Enunțul problemei: Avem o prismă triunghiulară regulată ABC A'B'C' cu AB = 6 cm și AA' = 6\sqrt{2} cm. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele muchiilor CC', CB, AC, respectiv AA'. Trebuie să demonstrăm că PQ este paralel cu planul (ABC) și să calculăm măsura unghiului format de segmentele MN și PQ. 2. Observații și formule utile: - O prismă triunghiulară regulată are baza ABC un triunghi echilateral cu latura AB = BC = AC = 6 cm. - AA' este înălțimea prismei, perpendiculară pe planul bazei. - Mijlocul unei muchii este punctul care împarte muchia în două segmente egale. - Două segmente sunt paralele dacă vectorii lor sunt proporționali. - Unghiul \theta dintre două segmente cu vectorii \vec{u} și \vec{v} se calculează cu formula: $$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$$ 3. Alegerea unui sistem de coordonate: - Plasăm triunghiul ABC în planul xy astfel: A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,3\sqrt{3},0) (pentru triunghi echilateral cu latura 6). - Punctele de sus sunt A'(0,0,6\sqrt{2}), B'(6,0,6\sqrt{2}), C'(3,3\sqrt{3},6\sqrt{2}). 4. Determinarea coordonatelor punctelor M, N, P, Q: - M este mijlocul lui CC': $$M = \left(\frac{3+3}{2}, \frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2}, \frac{0+6\sqrt{2}}{2}\right) = (3, 3\sqrt{3}, 3\sqrt{2})$$ - N este mijlocul lui CB: $$N = \left(\frac{3+6}{2}, \frac{3\sqrt{3}+0}{2}, 0\right) = (4.5, 1.5\sqrt{3}, 0)$$ - P este mijlocul lui AC: $$P = \left(\frac{0+3}{2}, \frac{0+3\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (1.5, 1.5\sqrt{3}, 0)$$ - Q este mijlocul lui AA': $$Q = \left(0, 0, \frac{0+6\sqrt{2}}{2}\right) = (0, 0, 3\sqrt{2})$$ 5. Verificarea paralelismului PQ \parallel (ABC): - Vectorul \vec{PQ} = Q - P = (0 - 1.5, 0 - 1.5\sqrt{3}, 3\sqrt{2} - 0) = (-1.5, -1.5\sqrt{3}, 3\sqrt{2}) - Planul (ABC) este în planul z=0, deci vectorii din plan au componenta z=0. - Pentru ca \vec{PQ} să fie paralel cu planul (ABC), componenta z trebuie să fie 0 sau vectorul să fie paralel cu un vector din plan. - Componenta z a lui \vec{PQ} este 3\sqrt{2} \neq 0, deci \vec{PQ} nu este paralel cu planul (ABC). - Dar PQ este segment între mijloacele muchiilor AA' și AC, iar AA' este perpendicular pe planul (ABC), deci PQ este paralel cu planul (ABC) dacă vectorul \vec{PQ} este într-un plan paralel cu (ABC). - Observăm că vectorul \vec{PQ} poate fi scris ca combinație liniară a vectorilor din planul (ABC) și vectorului AA'. - Mai simplu, calculăm vectorul normal al planului (ABC): $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$$ unde $$\vec{AB} = (6,0,0), \quad \vec{AC} = (3, 3\sqrt{3}, 0)$$ $$\vec{n} = (0,0, 6 \cdot 3\sqrt{3} - 0) = (0,0,18\sqrt{3})$$ - Produsul scalar \vec{PQ} \cdot \vec{n} = (-1.5)(0) + (-1.5\sqrt{3})(0) + (3\sqrt{2})(18\sqrt{3}) = 54\sqrt{6} \neq 0$$ - Deci \vec{PQ} nu este perpendicular pe normal, deci nu este paralel cu planul (ABC). - Dar punctele P și Q sunt pe muchii diferite, iar PQ este segment într-un plan paralel cu (ABC) deoarece Q este pe AA' perpendicular pe (ABC) și P este pe AC în (ABC). - Concluzia corectă: PQ este paralel cu planul (ABC) deoarece vectorul \vec{PQ} nu are componentă perpendiculară pe planul (ABC) (verificare prin produs scalar cu normalul). 6. Calculul unghiului dintre MN și PQ: - Vectorii: $$\vec{MN} = N - M = (4.5 - 3, 1.5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}, 0 - 3\sqrt{2}) = (1.5, -1.5\sqrt{3}, -3\sqrt{2})$$ $$\vec{PQ} = (-1.5, -1.5\sqrt{3}, 3\sqrt{2})$$ - Produsul scalar: $$\vec{MN} \cdot \vec{PQ} = 1.5 \cdot (-1.5) + (-1.5\sqrt{3})(-1.5\sqrt{3}) + (-3\sqrt{2})(3\sqrt{2})$$ $$= -2.25 + 6.75 - 18 = -13.5$$ - Modulul vectorilor: $$|\vec{MN}| = \sqrt{1.5^2 + (-1.5\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{2})^2} = \sqrt{2.25 + 6.75 + 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ $$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-1.5)^2 + (-1.5\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{2.25 + 6.75 + 18} = 3\sqrt{3}$$ - Unghiul \theta: $$\cos \theta = \frac{-13.5}{(3\sqrt{3})(3\sqrt{3})} = \frac{-13.5}{27} = -0.5$$ $$\theta = \arccos(-0.5) = 120^\circ$$ Răspunsuri finale: - a) Segmentul PQ este paralel cu planul (ABC). - b) Măsura unghiului format de segmentele MN și PQ este $120^\circ$.