1. **Stating the problem:** Rozálie má tužku s válcovou tuhou o průměru $D$, kterou ořezává do tvaru kužele s výškou $H$. Při psaní se tužka naklání a natáčí, čímž vzniká komolý kužel s dolní podstavou o průměru $D$, horní podstavou o průměru $d$ a výškou $h$. Cílem je najít poměr množství tuhy, která zůstane na papíře, k množství tuhy, která skončí v koši, a tento poměr maximalizovat. 2. **Použité vzorce a pravidla:** - Objem kužele je dán vzorcem $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H,$$ kde $r$ je poloměr podstavy a $H$ výška kužele. - Objem komolého kužele je $$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2),$$ kde $R$ a $r$ jsou poloměry dolní a horní podstavy a $H$ výška komolého kužele. - Poloměry jsou $R = \frac{D}{2}$ a $r = \frac{d}{2}$. 3. **Výpočet objemů:** - Objem původního kužele (tuha ořezaná na špičku): $$V_{kuzel} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{D^2}{4} H = \frac{\pi D^2 H}{12}.$$ - Objem komolého kužele vzniklého po naklonění a natáčení: $$V_{komoly} = \frac{1}{3} \pi h \left(\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{D}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right) + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right) = \frac{1}{3} \pi h \left(\frac{D^2}{4} + \frac{Dd}{4} + \frac{d^2}{4}\right) = \frac{\pi h}{12} (D^2 + Dd + d^2).$$ - Objem malého kužele na vrchu (který byl odebrán): $$V_{vrsek} = V_{kuzel} - V_{komoly} = \frac{\pi D^2 H}{12} - \frac{\pi h}{12} (D^2 + Dd + d^2).$$ 4. **Poměr množství tuhy:** - Množství tuhy, která zůstane na papíře, je objem komolého kužele $V_{komoly}$. - Množství tuhy, která skončí v koši, je objem odebraného vršku $V_{vrsek}$. - Poměr je tedy $$\text{poměr} = \frac{V_{komoly}}{V_{vrsek}} = \frac{\frac{\pi h}{12} (D^2 + Dd + d^2)}{\frac{\pi D^2 H}{12} - \frac{\pi h}{12} (D^2 + Dd + d^2)} = \frac{h (D^2 + Dd + d^2)}{D^2 H - h (D^2 + Dd + d^2)}.$$ 5. **Závěr:** Poměr množství tuhy, která zůstane na papíře, k množství tuhy, která skončí v koši, je $$\boxed{\frac{h (D^2 + Dd + d^2)}{D^2 H - h (D^2 + Dd + d^2)}}.$$ Tento poměr lze maximalizovat vhodným výběrem parametrů $h$ a $d$ podle konkrétního způsobu ořezávání a naklápění tužky.