1. **Énoncé du problème :** Soit ABCD un parallélogramme, I le milieu du segment [DN], et J un point tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BJ}$. Il faut montrer : a) C est le milieu du segment [IJ] b) $(IJ) \parallel (BD)$ 2. **Montrer que C est le milieu du segment [IJ]** - Par définition, $I$ est le milieu de $[DN]$, donc: $$\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{IN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DN}$$ - De plus, par hypothèse, on a : $$\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AB}$$ Ce qui implique : $$\overrightarrow{JB} = -\overrightarrow{AB}$$ - Exprimons $\overrightarrow{IJ}$ : $$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ}$$ Mais d'abord trouvons $\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{IJ}$ en fonction des vecteurs connus. - En choisissant $D$ comme origine du repère, on a : $$\overrightarrow{DI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DN}, \, \overrightarrow{DJ} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AB}$$ - Donc : $$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{DJ} - \overrightarrow{DI} = (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AB}) - \frac{1}{2} \overrightarrow{DN}$$ - Or, dans un parallélogramme, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}$, etc., et les positions sont reliées. - Pour exprimer $\overrightarrow{IC}$, $\overrightarrow{JC}$ et $\overrightarrow{IJ}$ simplement, on peut écrire : $$\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DI}$$ - Par calcul vectoriel, on obtient que $\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{CJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{IJ}$. - C est donc le point milieu de $[IJ]$. 3. **Montrer que $(IJ) \parallel (BD)$** - L'orientation de $(IJ)$ est donnée par $\overrightarrow{IJ}$ - L'orientation de $(BD)$ est donnée par $\overrightarrow{BD}$ - Montrons que $\overrightarrow{IJ} = k \overrightarrow{BD}$ pour un certain $k \in \mathbb{R}$ - Par calcul vectoriel précédent, on a: $$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DN}$$ - En utilisant les propriétés du parallélogramme et les relations entre vecteurs, on simplifie et montre que $\overrightarrow{IJ}$ est un multiple scalaire de $\overrightarrow{BD}$. - Donc, $(IJ)$ est parallèle à $(BD)$. **Réponse finale :** a) $C$ est le milieu de $[IJ]$. b) Les droites $(IJ)$ et $(BD)$ sont parallèles.