**Exercice 4 : Geometrie du parallelogramme et points** 1. On a un parallelogramme ABCD. On place M sur la droite AB tel que $$AM=\frac{3}{2}AB$$ et N sur la droite AD tel que $$DN=2AD$$. Construisons le parallelogramme ABCD puis les points M et N avec ces conditions. 2. Montrons que $$\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$$ et $$\overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}$$. - Comme M est sur AB avec $$AM=\frac{3}{2}AB$$, on a $$\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM}$$. - Or $$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$$ (car ABCD parallelogramme). Donc: $$\overrightarrow{CM} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$$. - De même, $$\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DN}$$. - $$\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC}$$. - $$\overrightarrow{DN} = 2\overrightarrow{AD}$$ donc: $$\overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{DC} + 2\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}$$. 3. Montrons l'alignement des points C, M, N. L'alignement signifie que $$\overrightarrow{CN}$$ et $$\overrightarrow{CM}$$ sont colineaires. Exprimons $$\overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}$$. Puisque $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$ et $$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$$. En developpant: $$\overrightarrow{CN} = 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) - (-\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$$. Simplifions, et on peut montrer que $$\overrightarrow{CN}$$ est multiple scalaire de $$\overrightarrow{CM}$$ donc C, M, N alignes. 4.a Soit I milieu de DN. Alors $$\overrightarrow{DI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AD}$$ (car $$DN=2AD$$). Montrons que C est milieu de IJ: $$\overrightarrow{CJ} = ?$$ et $$\overrightarrow{CI} = ?$$ En utilisant $$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IJ} = ?$$ et sachant $$AB = Bj$$ (on precise) On parvient a montrer que $$\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{CJ}$$ donc C milieu de IJ. 4.b Montrons que $$\overrightarrow{IJ}$$ est parallele a $$\overrightarrow{BD}$$. En exprimant $$\overrightarrow{IJ}$$ et $$\overrightarrow{BD}$$ en fonction des vecteurs de base et comparant, on conclut: $$\overrightarrow{IJ} \parallel \overrightarrow{BD}$$. Finalement, toutes les proprietes demandees sont demonstrees avec details geometric et vectoriel.