1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle ABC avec E sur [AB] et F sur [AC]. Une parallèle à (BF) passant par E coupe [AC] en N. Une parallèle à (CE) passant par F coupe [AB] en M. Nous devons : - Comparer $\frac{AM}{AE}$ et $\frac{AF}{AC}$. - Montrer que $AM \times AC = AB \times AN$. - Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. 2. **Comparaison de $\frac{AM}{AE}$ et $\frac{AF}{AC}$ :** - Par construction, $EN \parallel BF$ et $FM \parallel CE$. - Considérons les triangles et les rapports de Thalès. Dans le triangle $ABC$, la droite $(EN)$ est parallèle à $(BF)$, donc par Thalès dans le triangle $ABF$ : $$\frac{AE}{AB} = \frac{AN}{AF}$$ De même, la droite $(FM)$ est parallèle à $(CE)$, donc dans le triangle $ACE$ : $$\frac{AF}{AC} = \frac{AM}{AE}$$ Ainsi, on a $$\frac{AM}{AE} = \frac{AF}{AC}$$ 3. **Montrer que $AM \times AC = AB \times AN$ :** - De la relation précédente, on a $$\frac{AM}{AE} = \frac{AF}{AC} \Rightarrow AM = AE \times \frac{AF}{AC}$$ - De la relation de Thalès dans $ABF$ : $$\frac{AE}{AB} = \frac{AN}{AF} \Rightarrow AE = AB \times \frac{AN}{AF}$$ - En remplaçant $AE$ dans l'expression de $AM$ : $$AM = AB \times \frac{AN}{AF} \times \frac{AF}{AC} = AB \times \frac{AN}{AC}$$ - En multipliant par $AC$ : $$AM \times AC = AB \times AN$$ 4. **Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles :** - Considérons les triangles $AMN$ et $ABC$. - On a montré que $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$ - De plus, $M$ est sur $AB$ et $N$ sur $AC$. - Par le théorème de Thalès, si $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$ Alors $(MN) \parallel (BC)$. **Réponses finales :** - $\frac{AM}{AE} = \frac{AF}{AC}$ - $AM \times AC = AB \times AN$ - $(MN) \parallel (BC)$