1. **Énoncé du problème :** On considère un triangle ABC avec les points I, J sur AC et K sur BC. Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. On connaît : - $AB=6$ - $AI=3$ - $IC=6$ - $IJ=4$ - $KC=4$ On doit calculer $AI$ et $BC$ (ici $AI$ est donné, donc on vérifiera $BC$) et montrer que $(JK)//(AC)$. 2. **Calcul de $BC$ :** Puisque $(IJ)//(BC)$, les triangles $AIJ$ et $ABC$ sont semblables par le théorème de Thalès. Formule de Thalès : $$\frac{AI}{AB} = \frac{IJ}{BC} = \frac{AJ}{AC}$$ On connaît $AI=3$, $AB=6$, $IJ=4$, et on cherche $BC$. Calculons $BC$ : $$\frac{AI}{AB} = \frac{IJ}{BC} \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{4}{BC}$$ Simplifions $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, donc : $$\frac{1}{2} = \frac{4}{BC} \Rightarrow BC = 4 \times 2 = 8$$ 3. **Montrer que $(JK)//(AC)$ :** On sait que $K$ est sur $BC$ avec $KC=4$ et $BC=8$, donc $BK = BC - KC = 8 - 4 = 4$. Considérons les triangles $BJK$ et $BAC$. Pour montrer que $(JK)//(AC)$, on doit vérifier que les rapports des segments sont égaux, c'est-à-dire : $$\frac{BJ}{BA} = \frac{JK}{AC}$$ Or, $BA = AB = 6$, $BK=4$, et $IJ=4$. Puisque $(IJ)//(BC)$, et $J$ est sur $IJ$, on peut utiliser la propriété des segments proportionnels dans les triangles. On remarque que $BJ$ correspond à $AB - AI = 6 - 3 = 3$. On calcule les rapports : $$\frac{BJ}{BA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ On calcule $JK$ : Puisque $IJ=4$ et $JK$ est parallèle à $AC$, par la propriété des parallèles et segments proportionnels, on a : $$\frac{JK}{AC} = \frac{1}{2}$$ Donc $(JK)//(AC)$. **Réponse finale :** - $BC = 8$ - $(JK)//(AC)$ est vrai par les rapports de Thalès.