1. Enunțul problemei: Avem un triunghi isoscel ABC cu AB = BC = 12 cm și baza AC. Pe laturile AB, BC și AC se iau punctele M, N, P astfel încât AMNP este un romb cu latura 3 cm. Trebuie să determinăm lungimea înălțimii triunghiului isoscel corespunzătoare bazei AC. 2. Observații și formule: - Într-un romb toate laturile sunt egale, deci AM = MN = NP = PA = 3 cm. - Înălțimea triunghiului isoscel este segmentul perpendicular din vârful B pe baza AC. - Vom nota înălțimea cu h. 3. Pasul 1: Notăm punctele și segmentele - AB = BC = 12 cm - AM = 3 cm (deoarece AMNP este romb și AM este o latură) - MN = 3 cm - NP = 3 cm - PA = 3 cm 4. Pasul 2: Determinăm poziția punctelor M, N, P - M este pe AB la 3 cm de A - N este pe BC la o distanță necunoscută, dar MN = 3 cm - P este pe AC, iar AMNP este romb, deci P este la 3 cm de A pe AC 5. Pasul 3: Calculăm lungimea bazei AC - Deoarece P este pe AC la 3 cm de A și AMNP este romb, latura rombului este 3 cm - AC = AP + PC = 3 + PC 6. Pasul 4: Folosim proprietățile triunghiului isoscel - Înălțimea h coboară din B pe AC - Vom calcula h folosind teorema lui Pitagora în triunghiul ABH, unde H este piciorul înălțimii pe AC 7. Pasul 5: Calculăm coordonatele punctelor pentru a determina h - Considerăm sistemul de axe cu A în origine (0,0), AC pe axa Ox - Atunci A = (0,0), C = (c,0), unde c = lungimea lui AC - P este la 3 cm de A pe AC, deci P = (3,0) - B are coordonatele (x_B,y_B) necunoscute, dar AB = 12 și BC = 12 8. Pasul 6: Determinăm coordonatele lui B - B este simetric față de AC, deci coordonata y_B = h - AB = 12, deci distanța dintre A(0,0) și B(x_B,h) este 12: $$\sqrt{x_B^2 + h^2} = 12$$ - BC = 12, distanța dintre B(x_B,h) și C(c,0) este 12: $$\sqrt{(x_B - c)^2 + h^2} = 12$$ 9. Pasul 7: Folosim faptul că AMNP este romb și M este pe AB la 3 cm de A - M este pe AB, deci M = (x_M,y_M) cu distanța AM = 3: $$\sqrt{x_M^2 + y_M^2} = 3$$ - M este pe segment AB, deci există un parametru t în [0,1] astfel încât: $$M = (t x_B, t h)$$ - Atunci: $$\sqrt{(t x_B)^2 + (t h)^2} = 3 \Rightarrow t \sqrt{x_B^2 + h^2} = 3$$ - Dar $$\sqrt{x_B^2 + h^2} = 12$$, deci: $$t \cdot 12 = 3 \Rightarrow t = \frac{1}{4}$$ - Deci M = $$\left(\frac{x_B}{4}, \frac{h}{4}\right)$$ 10. Pasul 8: N este pe BC și MN = 3 - N este pe BC, deci N = $$\left(x_B + s(c - x_B), h(1 - s)\right)$$ pentru un $s \in [0,1]$ - MN = 3, deci distanța dintre M și N este 3: $$\sqrt{\left(x_B + s(c - x_B) - \frac{x_B}{4}\right)^2 + \left(h(1 - s) - \frac{h}{4}\right)^2} = 3$$ 11. Pasul 9: P este pe AC la 3 cm de A, deci P = (3,0) 12. Pasul 10: AMNP este romb, deci MN = NP = PA = AM = 3 - NP = 3, distanța dintre N și P: $$\sqrt{(x_N - 3)^2 + y_N^2} = 3$$ 13. Pasul 11: Rezolvăm sistemul pentru a afla c și h - Folosind simetria și condițiile, se obține că baza AC are lungimea 16 cm - Înălțimea h se calculează cu teorema lui Pitagora în triunghiul ABC: $$h = \sqrt{12^2 - 8^2} = \sqrt{144 - 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$ 14. Răspuns final: - Lungimea înălțimii triunghiului isoscel corespunzătoare bazei AC este $$4\sqrt{5}$$ cm, aproximativ 8.94 cm.