1. Énoncé du problème : On a un quadrilatère avec les points S, T, U, V, W. V est sur le segment [US], W est sur le segment [UT], et les droites (ST) et (VW) sont parallèles. 2. Énoncé du problème : On a une figure avec les points F, I, J, G, H. Les droites (FI) et (GJ) sont sécantes en H, et les droites (FG) et (IJ) sont parallèles. --- **Rappel de la propriété de Thalès :** Si deux droites sont parallèles et coupées par deux droites sécantes, alors les rapports des segments correspondants sont égaux. --- **1. Application de Thalès sur la première figure :** Les droites (ST) et (VW) sont parallèles. Les points V et W sont sur [US] et [UT] respectivement. La double égalité de Thalès s'écrit : $$\frac{UV}{US} = \frac{UW}{UT} = \frac{VW}{ST}$$ Explication : - $UV$ est la longueur du segment entre U et V sur [US]. - $US$ est la longueur totale du segment [US]. - $UW$ est la longueur du segment entre U et W sur [UT]. - $UT$ est la longueur totale du segment [UT]. - $VW$ est la longueur du segment entre V et W. - $ST$ est la longueur du segment [ST]. Cette égalité exprime que les rapports des segments correspondants sont égaux grâce à la parallélisme des droites (ST) et (VW). --- **2. Application de Thalès sur la deuxième figure :** Les droites (FG) et (IJ) sont parallèles. Les droites (FI) et (GJ) sont sécantes en H. La double égalité de Thalès s'écrit : $$\frac{FH}{HI} = \frac{GH}{HJ} = \frac{FG}{IJ}$$ Explication : - $FH$ et $HI$ sont les segments sur la droite (FI) coupée en H. - $GH$ et $HJ$ sont les segments sur la droite (GJ) coupée en H. - $FG$ et $IJ$ sont les segments parallèles. Cette égalité exprime que les rapports des segments sur les droites sécantes sont égaux grâce à la parallélisme des droites (FG) et (IJ). --- Ainsi, les deux égalités de Thalès sont : 1. $$\frac{UV}{US} = \frac{UW}{UT} = \frac{VW}{ST}$$ 2. $$\frac{FH}{HI} = \frac{GH}{HJ} = \frac{FG}{IJ}$$