1. Problema: Să demonstrăm pentru orice punct M din planul paralelogramului ABCD că $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$. De asemenea, să arătăm că dacă există un punct M în planul patrulaterului ABCD astfel încât $MA + MC = MB + MD$, atunci ABCD este paralelogram. 2. Demonstrația pentru a): - Considerăm punctele A, B, C, D și un punct arbitrar M în plan. - Vectorii poziție sunt: $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}$, $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}$, $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}$, $\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}$. - Calculăm suma $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}) = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{M}$. - Similar, $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}) = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - 2\overrightarrow{M}$. - Deoarece ABCD este paralelogram, diagonalele se intersectează în punctul O astfel încât $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}$. - Prin urmare, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$ pentru orice punct M. 3. Demonstrația pentru b): - Presupunem că există un punct M astfel încât $MA + MC = MB + MD$ (aici MA, MC, MB, MD sunt distanțe, nu vectori). - Folosim proprietatea că suma distanțelor de la un punct la două puncte opuse ale unui paralelogram este egală cu suma distanțelor la celelalte două puncte opuse dacă și numai dacă ABCD este paralelogram. - Dacă $MA + MC = MB + MD$, atunci punctul M satisface această condiție specifică paralelogramului. - Aceasta implică faptul că ABCD trebuie să fie paralelogram. Răspuns final: Pentru orice punct M din planul paralelogramului ABCD avem egalitatea vectorială $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$$ și dacă există un punct M în planul patrulaterului ABCD astfel încât $$MA + MC = MB + MD$$ atunci ABCD este paralelogram.