1. **Énoncé du problème :** Nous avons un cube ABCDEFGH et nous devons démontrer plusieurs propriétés géométriques sans utiliser de coordonnées. 2. **Rappel des propriétés importantes d'un cube :** - Toutes les arêtes ont la même longueur. - Les faces sont des carrés. - Les arêtes adjacentes sont perpendiculaires. - Les diagonales d'une face carrée sont égales et se coupent en leur milieu à angle droit. 3. **Démonstration que les droites (BD) et (EG) sont orthogonales :** - BD est une diagonale de la face ABCD. - EG est une diagonale de la face EFGH, face opposée à ABCD. - Dans un cube, les diagonales des faces opposées sont parallèles aux arêtes correspondantes et perpendiculaires entre elles. - Plus précisément, BD est dans le plan ABCD, EG dans le plan EFGH, et ces plans sont parallèles mais décalés. - Les vecteurs BD et EG sont orthogonaux car ils correspondent à des diagonales de faces opposées et perpendiculaires. - Conclusion : (BD) ⟂ (EG). 4. **Démonstration que :** a) (AH) est orthogonale au plan (FCD) - AH est une arête verticale du cube. - Le plan (FCD) est une face latérale du cube. - AH est perpendiculaire à toutes les arêtes du plan (FCD) car il est perpendiculaire à la base du cube. - Donc (AH) ⟂ plan (FCD). b) (BH) est orthogonale au plan (EGD) - BH est une diagonale d'une face latérale. - Le plan (EGD) est une face adjacente. - BH est perpendiculaire à ce plan car il est perpendiculaire aux arêtes qui forment ce plan. - Donc (BH) ⟂ plan (EGD). 5. **Justification que le quadrilatère AHGB est un rectangle :** - AH et BG sont des arêtes verticales parallèles et égales. - AB et HG sont des arêtes horizontales parallèles et égales. - Les angles entre AH et AB sont droits car ce sont des arêtes du cube. - Donc AHGB a quatre angles droits et côtés opposés égaux. - Conclusion : AHGB est un rectangle. 6. **Démonstration que les plans (BCH) et (ADG) sont perpendiculaires :** - Les plans (BCH) et (ADG) contiennent des arêtes perpendiculaires du cube. - Par exemple, BC est perpendiculaire à AD, et BH est perpendiculaire à DG. - Ces relations impliquent que les plans sont perpendiculaires. **Réponse finale :** - (BD) ⟂ (EG) - (AH) ⟂ plan (FCD) - (BH) ⟂ plan (EGD) - AHGB est un rectangle - Les plans (BCH) et (ADG) sont perpendiculaires