1. Probleem: Toon waarom $AH = 2R \cos A$ voor een driehoek $ABC$ met orthocentrum $H$ en omgeschreven cirkelstraal $R$. 2. Idee en notatie: Laat $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel zijn. Schrijf de positievectoren vanuit $O$ als $\vec a=\vec{OA}$, $\vec b=\vec{OB}$, $\vec c=\vec{OC}$. Dan geldt $\lVert\vec a\rVert=\lVert\vec b\rVert=\lVert\vec c\rVert=R$. 3. Bekende vectoridentiteit voor het orthocentrum: Als het middelpunt $O$ de oorsprong is, dan is de positievector van het orthocentrum $H$ gegeven door $\vec h=\vec a+\vec b+\vec c$. Een korte verklaring: uit $BH\perp AC$ enz. volgt dat $(\vec b+\vec c)\cdot\vec a=0$ en de twee andere permutaties, waaruit de somvorm volgt. 4. Bereken $\vec{AH}=\vec h-\vec a=\vec b+\vec c$. 5. Neem de lengte: $\lVert\vec{AH}\rVert^2=\lVert\vec b+\vec c\rVert^2=\lVert\vec b\rVert^2+\lVert\vec c\rVert^2+2\vec b\cdot\vec c$. 6. Omdat de hoek tussen $\vec b$ en $\vec c$ gelijk is aan $2A$, hebben we $\vec b\cdot\vec c=R^2\cos(2A)$. 7. Dus $\lVert\vec{AH}\rVert^2=R^2+R^2+2R^2\cos(2A)=2R^2(1+\cos(2A))$. 8. Gebruik de identiteit $1+\cos(2A)=2\cos^2A$ om te krijgen $\lVert\vec{AH}\rVert^2=4R^2\cos^2A$. 9. Neem de positieve vierkantswortel voor de lengte: $\lVert\vec{AH}\rVert=2R|\cos A|$. 10. Conclusie: Voor een scherpe hoek $A$ is $\cos A>0$ en dan volgt $AH=2R\cos A$. Voor algemene $A$ geldt $AH=2R|\cos A|$.