1. **Enunciado do problema:** Temos uma cartolina retangular de 50 cm por 65 cm, da qual são cortados quadrados de lado $x$ cm nos cantos para formar uma caixa. O comprimento da base da caixa é $32,5 + x$ cm e a largura é $x$ cm. Queremos analisar o volume da caixa em função de $x$ e responder às questões propostas. 2. **Determinar a fórmula do volume da caixa:** O volume $V$ da caixa é dado pelo produto do comprimento, largura e altura. A altura da caixa é igual ao lado do quadrado cortado, ou seja, $x$ cm. Assim, $$V(x) = \text{comprimento} \times \text{largura} \times \text{altura} = (32,5 + x) \times x \times x = (32,5 + x) x^2$$ Expandindo: $$V(x) = 32,5 x^2 + x^3 = x^3 + 32,5 x^2$$ Porém, o enunciado fornece a fórmula: $$V(x) = 2x^3 - 115x^2 + 1625x$$ Vamos verificar essa fórmula considerando que o comprimento total da cartolina é 65 cm e que foram cortados quadrados de lado $x$ em ambos os lados, então o comprimento útil para a base é $65 - 2x$ e a largura é $50 - 2x$. Assim, o volume é: $$V(x) = x \times (65 - 2x) \times (50 - 2x)$$ Expandindo: $$V(x) = x (3250 - 130x - 100x + 4x^2) = x (3250 - 230x + 4x^2) = 3250x - 230x^2 + 4x^3$$ Reorganizando: $$V(x) = 4x^3 - 230x^2 + 3250x$$ Dividindo por 2 para comparar com a fórmula dada: $$V(x) = 2x^3 - 115x^2 + 1625x$$ Portanto, a fórmula fornecida está correta. 3. **Domínio de $V$:** O lado $x$ deve ser positivo e menor que metade da menor dimensão da cartolina para que a caixa possa ser formada: $$0 < x < 25$$ pois $50 - 2x > 0$ e $65 - 2x > 0$. 4. **Valores do volume para os valores dados de $x$:** Calculamos $V(x)$ para $x = 1,5; 3; 4; 4,5; 5$: - $V(1,5) = 2(1,5)^3 - 115(1,5)^2 + 1625(1,5) = 2(3,375) - 115(2,25) + 2437,5 = 6,75 - 258,75 + 2437,5 = 2185,5$ cm³ - $V(3) = 2(27) - 115(9) + 1625(3) = 54 - 1035 + 4875 = 3894$ cm³ - $V(4) = 2(64) - 115(16) + 1625(4) = 128 - 1840 + 6500 = 4788$ cm³ - $V(4,5) = 2(91,125) - 115(20,25) + 1625(4,5) = 182,25 - 2328,75 + 7312,5 = 5166$ cm³ - $V(5) = 2(125) - 115(25) + 1625(5) = 250 - 2875 + 8125 = 5500$ cm³ 5. **Gráfico que representa o volume em função de $x$:** O volume começa em zero quando $x=0$, cresce até um máximo e depois decresce até zero próximo do limite do domínio. Isso corresponde a um gráfico em forma de sino, iniciando na origem, subindo para um máximo e descendo até o eixo $x$ para a direita. Portanto, a resposta correta é a alternativa (D). 6. **Determinar o valor de $x$ que maximiza o volume:** Para encontrar o máximo, derivamos $V(x)$: $$V'(x) = 6x^2 - 230x + 1625$$ Igualamos a zero para encontrar pontos críticos: $$6x^2 - 230x + 1625 = 0$$ Resolvendo a equação quadrática: $$x = \frac{230 \pm \sqrt{230^2 - 4 \times 6 \times 1625}}{2 \times 6} = \frac{230 \pm \sqrt{52900 - 39000}}{12} = \frac{230 \pm \sqrt{13900}}{12}$$ Calculando: $$\sqrt{13900} \approx 117.83$$ Assim: $$x_1 = \frac{230 - 117.83}{12} \approx 9.35$$ $$x_2 = \frac{230 + 117.83}{12} \approx 29.82$$ Como $x$ deve estar no domínio $0 < x < 25$, descartamos $x_2$. 7. **Conclusão:** O valor de $x$ que maximiza o volume da caixa é aproximadamente $9,35$ cm. 8. **Vantagens de um modelo matemático:** Um modelo matemático permite prever e otimizar resultados sem a necessidade de experimentação física extensa, economizando tempo e recursos. Além disso, ajuda a compreender a relação entre variáveis e a tomar decisões informadas em situações reais.