1. Stwierdźmy problem: mamy trójkąt równoramienny ABC z ramionami AB=AC=4 oraz kątem przy wierzchołku A równym $\frac{\pi}{60}$. Na bokach AC i AB wyznaczono punkty $X_1, X_3, X_5, \ldots, X_9$ na AC oraz $X_2, X_4, X_6, \ldots, X_{10}$ na AB tak, aby łamana $BX_1X_2X_3 \ldots X_{10}$ była możliwie najkrótsza. Należy obliczyć $\left\lfloor 1000l \right\rfloor$, gdzie $l$ to długość tej łamanej. 2. Zauważmy, że punkty $X_i$ są ułożone naprzemiennie na bokach AC i AB, a łamana zaczyna się w punkcie B i przechodzi przez wszystkie $X_i$ w kolejności. 3. Ponieważ trójkąt jest równoramienny z ramionami długości 4 i kątem $\alpha = \frac{\pi}{60}$ przy wierzchołku A, możemy ustawić układ współrzędnych tak, że punkt A jest w początku, a ramiona AB i AC tworzą kąt $\alpha$. 4. Współrzędne punktów: - $A = (0,0)$ - $B = (4,0)$ (na osi x) - $C = (4\cos \alpha, 4\sin \alpha)$ 5. Punkty $X_1, X_3, \ldots, X_9$ leżą na AC, więc ich współrzędne to: $$X_{2k-1} = 4t_k(\cos \alpha, \sin \alpha), \quad t_k \in [0,1], k=1,2,\ldots,5$$ 6. Punkty $X_2, X_4, \ldots, X_{10}$ leżą na AB, więc ich współrzędne to: $$X_{2k} = (4s_k, 0), \quad s_k \in [0,1], k=1,2,\ldots,5$$ 7. Łamana to: $$B = (4,0) = X_0, X_1, X_2, \ldots, X_{10}$$ 8. Długość łamanej to suma odległości między kolejnymi punktami: $$l = \sum_{i=0}^9 |X_{i+1} - X_i|$$ 9. Aby łamana była najkrótsza, punkty muszą być ułożone tak, że odcinki łączące punkty na przemian na AC i AB tworzą najkrótszą możliwą ścieżkę. 10. Zauważmy, że minimalna długość łamanej $BX_1X_2 \ldots X_{10}$ to długość odcinka $BC$ odbitego wielokrotnie względem boków AC i AB, co jest klasycznym problemem optymalizacji drogi z odbiciami. 11. W tym przypadku, ponieważ mamy 10 punktów na przemian na AC i AB, minimalna długość łamanej to długość odcinka $B$ do punktu $C$ odbitego 5 razy względem boków AC i AB. 12. Kąt między ramionami to $\alpha = \frac{\pi}{60}$, więc kąt między odbiciami to $2\alpha = \frac{\pi}{30}$. 13. Po 5 odbiciach punkt $C$ zostaje obrócony o kąt $5 \times 2\alpha = \frac{5\pi}{30} = \frac{\pi}{6}$ względem punktu A. 14. Zatem długość łamanej $l$ to odległość między $B=(4,0)$ a punktem $C'$ będącym obrotem $C$ o kąt $\frac{\pi}{6}$: $$C' = 4 \begin{pmatrix} \cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) \\ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{60} + \frac{\pi}{6}) \\ \sin(\frac{\pi}{60} + \frac{\pi}{6}) \end{pmatrix}$$ 15. Obliczamy sumę kątów: $$\frac{\pi}{60} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{60} + \frac{10\pi}{60} = \frac{11\pi}{60}$$ 16. Współrzędne $C'$: $$C' = 4(\cos \frac{11\pi}{60}, \sin \frac{11\pi}{60})$$ 17. Długość łamanej: $$l = |B - C'| = \sqrt{(4 - 4\cos \frac{11\pi}{60})^2 + (0 - 4\sin \frac{11\pi}{60})^2}$$ 18. Upraszczamy: $$l = 4 \sqrt{(1 - \cos \frac{11\pi}{60})^2 + \sin^2 \frac{11\pi}{60}} = 4 \sqrt{1 - 2\cos \frac{11\pi}{60} + \cos^2 \frac{11\pi}{60} + \sin^2 \frac{11\pi}{60}}$$ 19. Korzystając z tożsamości trygonometrycznej $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$l = 4 \sqrt{1 - 2\cos \frac{11\pi}{60} + 1} = 4 \sqrt{2 - 2\cos \frac{11\pi}{60}} = 4 \sqrt{2(1 - \cos \frac{11\pi}{60})}$$ 20. Korzystając z wzoru $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$: $$l = 4 \sqrt{2 \times 2 \sin^2 \frac{11\pi}{120}} = 4 \sqrt{4 \sin^2 \frac{11\pi}{120}} = 4 \times 2 \sin \frac{11\pi}{120} = 8 \sin \frac{11\pi}{120}$$ 21. Obliczamy wartość $\sin \frac{11\pi}{120}$: $$\frac{11\pi}{120} = 11 \times 1.5^\circ = 16.5^\circ$$ 22. Zatem: $$l = 8 \sin 16.5^\circ \approx 8 \times 0.2845 = 2.276$$ 23. Obliczamy $\left\lfloor 1000 l \right\rfloor$: $$1000 \times 2.276 = 2276$$ Odpowiedź: $\boxed{2276}$