1. Problema 08: Determinar os catetos de um triângulo retângulo ABC sabendo que a altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes de 3,6 cm e 6,4 cm. 2. Fórmulas importantes: - A altura relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo é dada por $h = \sqrt{p \cdot q}$, onde $p$ e $q$ são as partes em que a hipotenusa é dividida. - Os catetos podem ser calculados por $c_1 = \sqrt{p \cdot h}$ e $c_2 = \sqrt{q \cdot h}$. 3. Cálculo da altura: $$h = \sqrt{3,6 \times 6,4} = \sqrt{23,04} = 4,8\,cm$$ 4. Cálculo dos catetos: $$c_1 = \sqrt{3,6 \times (3,6 + 6,4)} = \sqrt{3,6 \times 10} = \sqrt{36} = 6\,cm$$ $$c_2 = \sqrt{6,4 \times 10} = \sqrt{64} = 8\,cm$$ 5. Resposta: Os catetos medem 6 cm e 8 cm. --- 6. Problema 09: Produto da hipotenusa pela altura relativa é 18 cm². Determinar a área do triângulo. 7. Fórmula: - Produto da hipotenusa $c$ pela altura $h$ é $c \times h = 18$. - Área do triângulo retângulo é $A = \frac{c \times h}{2}$. 8. Cálculo da área: $$A = \frac{18}{2} = 9\,cm^2$$ 9. Resposta: A área do triângulo é 9 cm². --- 10. Problema 10: Em um triângulo retângulo, um cateto mede 3 cm e sua projeção sobre a hipotenusa é 1,8 cm. Determinar o outro cateto. 11. Fórmulas: - Projeção do cateto $a$ sobre a hipotenusa é $p$. - Relação: $a^2 = c \times p$, onde $c$ é a hipotenusa. - Outro cateto $b$ pode ser calculado por $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. 12. Cálculo da hipotenusa: $$3^2 = c \times 1,8 \Rightarrow 9 = 1,8c \Rightarrow c = 5$$ 13. Cálculo do outro cateto: $$b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\,cm$$ 14. Resposta: O outro cateto mede 4 cm. --- 15. Problema 11: Determinar valores de $a$ e $b$ nos triângulos dados. A) Triângulo retângulo com base 24, altura 18, lados $a-b$ e $b$. - Hipotenusa: $24$. - Aplicando Pitágoras: $$ (a-b)^2 + b^2 = 24^2 = 576 $$ B) Triângulo retângulo com base 2, lado oposto 4,5, hipotenusa $a$, lado oposto $b$. - Aplicando Pitágoras: $$ 2^2 + 4,5^2 = a^2 \Rightarrow 4 + 20,25 = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{24,25} \approx 4,92 $$ C) Triângulo retângulo com base $b$, altura 4, hipotenusa 9, lado vertical $a$. - Aplicando Pitágoras: $$ a^2 + b^2 = 9^2 = 81 $$ D) Triângulo retângulo com base 16, altura 8, hipotenusa $b$, lado vertical $a$. - Aplicando Pitágoras: $$ 16^2 + 8^2 = b^2 \Rightarrow 256 + 64 = b^2 \Rightarrow b = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} $$ --- 16. Problema 12: Triângulo retângulo com hipotenusa 26 cm e catetos 10 cm e 24 cm. Calcular a razão entre a projeção do menor cateto e a do maior. 17. Fórmulas: - Projeção do cateto $a$ sobre a hipotenusa: $p_a = \frac{a^2}{c}$. - Projeção do cateto $b$ sobre a hipotenusa: $p_b = \frac{b^2}{c}$. 18. Cálculo: $$ p_{menor} = \frac{10^2}{26} = \frac{100}{26} = \frac{50}{13} $$ $$ p_{maior} = \frac{24^2}{26} = \frac{576}{26} = \frac{288}{13} $$ 19. Razão: $$ \frac{p_{menor}}{p_{maior}} = \frac{50/13}{288/13} = \frac{50}{288} = \frac{25}{144} $$ 20. Resposta: A razão é $\frac{25}{144}$. --- 21. Aplicação do Teorema de Pitágoras no quadrado ABCD com lado $\ell$ e diagonal $d$: $$ d^2 = \ell^2 + \ell^2 = 2\ell^2 \Rightarrow d = \ell \sqrt{2} $$ 22. Exemplo: Para $\ell = 5$ cm, $$ d = 5 \sqrt{2} \approx 7,07\,cm $$