1. Állítsuk fel a problémát: Egy torony magasságát kell meghatároznunk, amely egy síkvidéken áll. 2. Ismert adatok: - Az első mérési pontból a torony tetejének emelkedési szöge $25^\circ$. - A második mérési pontból az emelkedési szög $18^\circ$. - A két mérési pont távolsága $300$ m. - A második mérési pontban mért szög, amely alatt az első mérési pont látszik a torony alapjával összekötő szakaszon, $37^\circ$. 3. Jelöljük: - $h$ a torony magassága. - $x$ az első mérési pont és a torony alapja közötti távolság. - Ekkor a második mérési pont és a torony alapja közötti távolság $300 - x$. 4. Az emelkedési szögek alapján: $$\tan 25^\circ = \frac{h}{x} \implies h = x \tan 25^\circ$$ $$\tan 18^\circ = \frac{h}{300 - x} \implies h = (300 - x) \tan 18^\circ$$ 5. Egyenlővé téve a két $h$-t: $$x \tan 25^\circ = (300 - x) \tan 18^\circ$$ 6. Oldjuk meg $x$-re: $$x \tan 25^\circ + x \tan 18^\circ = 300 \tan 18^\circ$$ $$x (\tan 25^\circ + \tan 18^\circ) = 300 \tan 18^\circ$$ $$x = \frac{300 \tan 18^\circ}{\tan 25^\circ + \tan 18^\circ}$$ 7. Számítsuk ki a tangenseket (közelítő értékekkel): $$\tan 25^\circ \approx 0.4663, \quad \tan 18^\circ \approx 0.3249$$ 8. Helyettesítve: $$x = \frac{300 \times 0.3249}{0.4663 + 0.3249} = \frac{97.47}{0.7912} \approx 123.2 \text{ m}$$ 9. Számítsuk ki a torony magasságát: $$h = x \tan 25^\circ = 123.2 \times 0.4663 \approx 57.4 \text{ m}$$ 10. Ellenőrizzük a harmadik szöget $37^\circ$ a második mérési pontban, amely a torony alapja és az első mérési pont közötti szakaszra vonatkozik. Ez a szög segít megerősíteni a helyes elrendezést, de a magasság meghatározásához az előző lépések elegendőek. Válasz: A torony magassága körülbelül $57.4$ méter.