1. Állítsuk fel a szakaszhosszakra vonatkozó egyenleteket az ábra és a feltételek alapján. 2. Legyen $OA=x$ cm. 3. Mivel az A, B, K, O, T pontok egy egyenesen vannak, és a pontok sorrendje: A, B, K, O, T, ezért $$AK = AB + BK$$ 4. A feltételek szerint az $AB$ hossza fele akkora, mint az $AK$ hossza, így: $$AB = \frac{1}{2}AK$$ 5. Ez azt jelenti, hogy: $$AB = \frac{1}{2} (AB + BK)$$ vagyis $$2AB = AB + BK$$ ebből adódik: $$BK = AB$$ 6. Ez mutatja, hogy $AB = BK$. 7. A $AK$ szakasz hossza: $$AK = AB + BK = AB + AB = 2AB$$ 8. A következő feltétel szerint az $AK$ szakasz 2 cm-rel rövidebb, mint az $OK$ szakasz: $$OK = AK + 2$$ 9. Az $OT$ szakasz hossza 2 cm-rel több, mint az $OK$ szakasz: $$OT = OK + 2 = AK + 2 + 2 = AK + 4$$ 10. Az $AT$ szakasz hossza 18 cm, és $AT$ az összes pont távolsága: $$AT = AB + BK + KO + OT$$ 11. Az előző lépésekből: - $AB = x_1$ - $BK = x_1$ - $AK = 2x_1$ - $OK = AK + 2 = 2x_1 + 2$ - $OT = OK + 2 = 2x_1 + 4$ 12. Mivel $OA = x$, és az $OK$ szakasz $OK = x + KO$ középpontok között, gondoljuk végig, $OA + OK + OT = AT$ azonban az ábra szerint $A, B, K, O, T$ sorrendben vannak, így az egész hossz: $$AT = AB + BK + KO + OT$$ 13. Ehelyett az egyszerűbb megközelítés: mivel $OA = x$, akkor $$AK = OA + OK - AB$$ de az komplex, helyette nézzük át egy adott változóval: Tegyük fel, hogy $OA = x$, és a pontok sorrendje A-B-K-O-T egy egyenesen, így: - $AB = y$ - $BK = y$ (mivel 5. lépésben megállapítottuk, hogy $BK=AB$) - $AK = AB + BK = 2y$ - $OK = AK + 2 = 2y + 2$ - $OT = OK + 2 = 2y + 4$ 14. Mivel pontok egymás mellett vannak, az $OA$ hossz az $x$ távolság. Az $OA$ és $OK$ pontok közötti távolság: $$OK = x + KO'$$ Vizsgáljuk meg azokat a pontokat, amelyek vannak az egyenesen: A---B---K---O---T 15. A távolságok: $$AB = y$$ $$BK = y$$ $$AK = 2y$$ $$OK = AK + 2 = 2y + 2$$ $$OT = OK + 2 = 2y + 4$$ 16. Az egész szakasz $AT = AB + BK + KO + OT = y + y + (OK - KO) + OT$ helyett egyszerűen: Az $AT$ szakasz hossza a pontok közötti távolságok összege, azaz $$AT = AB + BK + KO + OT = 2y + (OK) + OT$$ De az $OK$ magába foglalja $KO$ és $OA$ részeket, így tekintsd $OA = x$, $OK=x + KO$. 17. Az egyszerűség kedvéért definiáljunk: - $OA = x$ - $AK = 2y$ - $OK = 2y + 2$ És a pontok sorrendjében: $$OA + AO' + ... = ...$$ Az egyenes hossza: $$AT = OA + (OK - OA) + OT = OK + OT = (2y + 2) + (2y + 4) = 4y + 6$$ 18. Az adott $AT = 18$ cm, tehát: $$4y + 6 = 18$$ 19. Ebből: $$4y = 12$$ $$y = 3$$ 20. Akkor az $AK = 2y = 6$ cm. 21. Tudjuk, hogy $OK = AK + 2 = 6 + 2 = 8$ cm. 22. A $OA$ szakasz hossza a $OK - KO$ hossza, azonban mivel $OA$, $B$, $K$, $O$ a pontok egymás után vannak, az $OA$ szakasz magában foglalja az $AB$ és $BK$ szakaszokat és a $KO$ részt. Pontosítva: ha $A$ az origó, akkor: $$AB = y = 3$$ $$BK = 3$$ $$AK = 6$$ $$OK = 8$$ Itt $OA$ a $0$-tól $O$-ig terjedő szakasz: $$OA = AB + BK + KO = AK + KO$$ 23. Mivel $OK=8$ cm, és $OK = AK + 2$ cm, tehát: $$KO = OK - AK = 8 - 6 = 2$$ 24. Így az $OA$ hossza: $$OA = AK + KO = 6 + 2 = 8 ext{ cm}$$ 25. Ez megfelel a c) opcióval. **Végső válasz:** $$\boxed{8\text{ cm}}$$