1. **Enunciado do problema:** Dado o retângulo ABCD com $AB = 20$ cm e $AD = 10$ cm (pois $AB = 2AD$), e o losango AMCN inscrito nele, determine a medida do segmento $\overline{NB}$. 2. **Informações importantes:** - ABCD é um retângulo com $AB = 20$ cm e $AD = 10$ cm. - AMCN é um losango, ou seja, todos os seus lados são iguais. - Pontos $M$ e $N$ estão nos lados $AB$ e $DC$, respectivamente. 3. **Configuração do problema:** - Coloque o retângulo no plano cartesiano para facilitar a análise: - $A = (0,0)$ - $B = (20,0)$ - $C = (20,10)$ - $D = (0,10)$ 4. **Definição dos pontos $M$ e $N$:** - $M$ está em $AB$, então $M = (x_M,0)$ com $0 \leq x_M \leq 20$. - $N$ está em $DC$, então $N = (x_N,10)$ com $0 \leq x_N \leq 20$. 5. **Condições do losango AMCN:** - Lados iguais: $AM = MC = CN = NA$. 6. **Cálculo dos lados:** - $AM = |x_M - 0| = x_M$ (pois $A=(0,0)$ e $M=(x_M,0)$) - $MC = \sqrt{(20 - x_M)^2 + (10 - 0)^2} = \sqrt{(20 - x_M)^2 + 100}$ - $CN = |20 - x_N|$ (pois $C=(20,10)$ e $N=(x_N,10)$) - $NA = \sqrt{(x_N - 0)^2 + (10 - 0)^2} = \sqrt{x_N^2 + 100}$ 7. **Igualando os lados:** - $AM = MC \Rightarrow x_M = \sqrt{(20 - x_M)^2 + 100}$ - $MC = CN \Rightarrow \sqrt{(20 - x_M)^2 + 100} = 20 - x_N$ - $CN = NA \Rightarrow 20 - x_N = \sqrt{x_N^2 + 100}$ 8. **Resolver a primeira equação:** $$ x_M = \sqrt{(20 - x_M)^2 + 100} $$ Elevando ao quadrado: $$ x_M^2 = (20 - x_M)^2 + 100 $$ Expandindo: $$ x_M^2 = 400 - 40x_M + x_M^2 + 100 $$ Simplificando $x_M^2$ dos dois lados: $$ 0 = 500 - 40x_M $$ Logo: $$ 40x_M = 500 \Rightarrow x_M = \frac{500}{40} = 12.5 $$ 9. **Resolver a terceira equação:** $$ 20 - x_N = \sqrt{x_N^2 + 100} $$ Elevando ao quadrado: $$ (20 - x_N)^2 = x_N^2 + 100 $$ Expandindo: $$ 400 - 40x_N + x_N^2 = x_N^2 + 100 $$ Simplificando $x_N^2$ dos dois lados: $$ 400 - 40x_N = 100 $$ $$ 300 = 40x_N \Rightarrow x_N = \frac{300}{40} = 7.5 $$ 10. **Calcular $NB$:** - $N = (7.5, 10)$ - $B = (20, 0)$ - Distância: $$ NB = \sqrt{(20 - 7.5)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{12.5^2 + (-10)^2} = \sqrt{156.25 + 100} = \sqrt{256.25} \approx 16.01\, \text{cm} $$ **Resposta final:** $$\boxed{NB \approx 16.01\, \text{cm}}$$