1. Enunciado do problema: Temos um quadrado ABCD e um setor circular com centro em O, onde O é o ponto de interseção das diagonais AC e BD do quadrado. 2. Dados importantes: - A área do setor circular é $\frac{25\pi}{4}$. - O raio do setor circular é $|OC|$. - Queremos encontrar o comprimento do segmento $[AC]$. 3. Como O é o ponto de interseção das diagonais do quadrado, ele é o ponto médio de AC e BD. Logo, $|OC|$ é metade do comprimento da diagonal $AC$. 4. A área do setor circular é dada por: $$\text{Área} = \frac{\theta}{2} r^2$$ onde $\theta$ é o ângulo central em radianos e $r$ é o raio. 5. No quadrado, o arco CD corresponde a um quarto da circunferência, pois o ângulo central $\theta = \frac{\pi}{2}$ (90 graus). 6. Substituindo na fórmula da área do setor: $$\frac{25\pi}{4} = \frac{\pi/2}{2} r^2 = \frac{\pi}{4} r^2$$ 7. Simplificando a equação: $$\frac{25\pi}{4} = \frac{\pi}{4} r^2 \implies 25 = r^2 \implies r = 5$$ 8. Como $r = |OC|$ e $O$ é o ponto médio de $AC$, temos: $$|AC| = 2 \times |OC| = 2 \times 5 = 10$$ Resposta final: O comprimento do segmento $[AC]$ é $10$.