1. **Enunciado do problema:** Uma empresa recebeu uma encomenda de embalagens metálicas na forma de um paralelepípedo retângulo. Cada embalagem deve ter altura $2$ dm e volume $6$ dm$^3$. 2. **Objetivo:** Mostrar que a área total da embalagem, em dm$^2$, é dada por $$A(x) = \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}$$ sendo $x$ uma das dimensões da base. 3. **Dados e variáveis:** - Altura $h = 2$ dm - Volume $V = 6$ dm$^3$ - Dimensões da base: $x$ e $y$ 4. **Fórmula do volume do paralelepípedo:** $$V = x \times y \times h$$ 5. **Encontrar $y$ em função de $x$:** Substituindo $V = 6$ e $h = 2$: $$6 = x \times y \times 2 \implies y = \frac{6}{2x} = \frac{3}{x}$$ 6. **Fórmula da área total $A$ do paralelepípedo:** A área total é a soma das áreas das 6 faces: - 2 faces com área $x \times y$ - 2 faces com área $x \times h$ - 2 faces com área $y \times h$ Portanto: $$A = 2(xy) + 2(xh) + 2(yh)$$ 7. **Substituir $y$ e $h$ na fórmula da área:** $$A = 2\left(x \times \frac{3}{x}\right) + 2(x \times 2) + 2\left(\frac{3}{x} \times 2\right)$$ Simplificando cada termo: - $2(x \times \frac{3}{x}) = 2 \times 3 = 6$ - $2(x \times 2) = 4x$ - $2(\frac{3}{x} \times 2) = \frac{12}{x}$ 8. **Somar os termos para obter $A(x)$:** $$A(x) = 6 + 4x + \frac{12}{x}$$ 9. **Colocar em uma única fração:** Multiplicando $6 + 4x$ por $\frac{x}{x}$ para somar com $\frac{12}{x}$: $$A(x) = \frac{6x}{x} + \frac{4x^2}{x} + \frac{12}{x} = \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}$$ **Resposta final:** $$\boxed{A(x) = \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}}$$ Esta é a expressão da área total da embalagem em função de $x$, uma das dimensões da base.