1. Vamos definir as variáveis: - Seja $r$ o raio da base do cilindro. - Seja $h$ a altura do cilindro (inteiro). - O raio da base do cone é $2r$. - A altura do cone é $h - 2$. 2. Dados do cilindro: - Área lateral do cilindro: $A_{lat,cil} = 2\pi r h = 64\pi$. - Dividindo ambos os lados por $2\pi$, temos $r h = 32$. 3. Dados do cone: - Volume do cone: $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 (h - 2) = 128\pi$. - Simplificando: $\frac{1}{3} \pi 4r^2 (h - 2) = 128\pi$. - Cancelando $\pi$: $\frac{4}{3} r^2 (h - 2) = 128$. - Multiplicando ambos os lados por 3: $4 r^2 (h - 2) = 384$. - Dividindo por 4: $r^2 (h - 2) = 96$. 4. Usando $r h = 32$, isolamos $r = \frac{32}{h}$. 5. Substituindo $r$ na equação do cone: $$\left(\frac{32}{h}\right)^2 (h - 2) = 96$$ $$\frac{1024}{h^2} (h - 2) = 96$$ $$1024 (h - 2) = 96 h^2$$ $$1024 h - 2048 = 96 h^2$$ 6. Rearranjando para formar uma equação quadrática: $$96 h^2 - 1024 h + 2048 = 0$$ Dividindo tudo por 32 para simplificar: $$3 h^2 - 32 h + 64 = 0$$ 7. Calculando o discriminante: $$\Delta = (-32)^2 - 4 \times 3 \times 64 = 1024 - 768 = 256$$ 8. Encontrando as raízes: $$h = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{2 \times 3} = \frac{32 \pm 16}{6}$$ - Para $h = \frac{32 + 16}{6} = \frac{48}{6} = 8$ - Para $h = \frac{32 - 16}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ (não inteiro) 9. Como $h$ é inteiro, $h = 8$. 10. Calculando $r$: $$r = \frac{32}{8} = 4$$ 11. Calculando a altura do cone: $$h_{cone} = h - 2 = 8 - 2 = 6$$ 12. Calculando a área lateral do cone: $$A_{lat,cone} = 2 \pi r_{cone} h_{cone} = 2 \pi (2r) (h - 2) = 2 \pi (8)(6) = 96 \pi$$ Resposta final: A área lateral do cone é $96\pi$ cm².