1. O problema pede para verificar se a área lateral do cone calculada é correta, dado que a área lateral do cilindro é $64\pi$ cm$^{2}$ e outras relações entre as dimensões do cilindro e do cone. 2. A área lateral do cilindro é dada por $$\text{Al}_{\text{cil}}=2\pi r_{\text{cil}}h_{\text{cil}}$$ e sabemos que $$2\pi r_{\text{cil}}h_{\text{cil}}=64\pi$$, logo $$r_{\text{cil}}h_{\text{cil}}=32$$. 3. O raio do cone é o dobro do raio do cilindro: $$r_{\text{cone}}=2r_{\text{cil}}$$ e a altura do cone é 2 cm menor que a do cilindro: $$h_{\text{cone}}=h_{\text{cil}}-2$$. 4. O volume do cone é $$V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi r_{\text{cone}}^{2}h_{\text{cone}}$$ e sabemos que $$V_{\text{cone}}=128\pi$$. 5. Substituindo as relações no volume do cone: $$128\pi=\frac{1}{3}\pi (2r_{\text{cil}})^{2}(h_{\text{cil}}-2)$$ Simplificando: $$128=\frac{4r_{\text{cil}}^{2}(h_{\text{cil}}-2)}{3}$$ $$384=4r_{\text{cil}}^{2}(h_{\text{cil}}-2)$$ $$96=r_{\text{cil}}^{2}h_{\text{cil}}-2r_{\text{cil}}^{2}$$ 6. Como $$r_{\text{cil}}h_{\text{cil}}=32$$, temos $$r_{\text{cil}}=\frac{32}{h_{\text{cil}}}$$ e substituímos para encontrar $$h_{\text{cil}}$$: $$96=\left(\frac{32}{h_{\text{cil}}}\right)^{2}h_{\text{cil}}-2\left(\frac{32}{h_{\text{cil}}}\right)^{2}$$ $$96=\frac{1024}{h_{\text{cil}}}-\frac{2048}{h_{\text{cil}}^{2}}$$ Multiplicando por $$h_{\text{cil}}^{2}$$: $$96h_{\text{cil}}^{2}=1024h_{\text{cil}}-2048$$ $$96h_{\text{cil}}^{2}-1024h_{\text{cil}}+2048=0$$ Dividindo por 32: $$3h_{\text{cil}}^{2}-32h_{\text{cil}}+64=0$$ 7. Resolvendo a equação quadrática com Bhaskara: $$h_{\text{cil}}=\frac{32\pm \sqrt{1024-768}}{6}=\frac{32\pm 16}{6}$$ Soluções: $$h_{\text{cil},1}=8\ \text{cm}$$ $$h_{\text{cil},2}=\frac{8}{3}\ \text{cm}$$ Como a altura do cilindro é inteiro, $$h_{\text{cil}}=8\ \text{cm}$$. 8. Calculando as outras medidas: $$h_{\text{cone}}=8-2=6\ \text{cm}$$ $$r_{\text{cil}}=\frac{32}{8}=4\ \text{cm}$$ $$r_{\text{cone}}=2\times 4=8\ \text{cm}$$ 9. Calculando a geratriz do cone usando Pitágoras: $$g=\sqrt{r_{\text{cone}}^{2}+h_{\text{cone}}^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=10\ \text{cm}$$ 10. Finalmente, a área lateral do cone: $$\text{Al}_{\text{cone}}=\pi r_{\text{cone}} g=\pi \times 8 \times 10=80\pi\ \text{cm}^{2}$$ Resposta: A área lateral do cone está correta e é $$80\pi\ \text{cm}^{2}$$.