1. O problema pede para calcular a altura de um retângulo sabendo que a área é 4 e a base é $\sqrt{5} \times 2 - 2$.\n\n2. A fórmula da área do retângulo é: $$\text{Área} = \text{base} \times \text{altura}$$\n\n3. Substituímos os valores conhecidos: $$4 = \left(\sqrt{5} \times 2 - 2\right) \times \text{altura}$$\n\n4. Simplificamos a base: $$\sqrt{5} \times 2 = 2\sqrt{5}$$\nEntão a base é $$2\sqrt{5} - 2$$\n\n5. Agora isolamos a altura: $$\text{altura} = \frac{4}{2\sqrt{5} - 2}$$\n\n6. Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por $$2\sqrt{5} + 2$$:\n$$\text{altura} = \frac{4 \times (2\sqrt{5} + 2)}{(2\sqrt{5} - 2)(2\sqrt{5} + 2)}$$\n\n7. Calculamos o denominador usando a diferença de quadrados: $$a^2 - b^2$$ com $$a = 2\sqrt{5}$$ e $$b = 2$$:\n$$ (2\sqrt{5})^2 - 2^2 = 4 \times 5 - 4 = 20 - 4 = 16$$\n\n8. Calculamos o numerador: $$4 \times (2\sqrt{5} + 2) = 8\sqrt{5} + 8$$\n\n9. Portanto, a altura é: $$\frac{8\sqrt{5} + 8}{16} = \frac{8(\sqrt{5} + 1)}{16} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$\n\n10. Resposta final: $$\boxed{\text{altura} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$$