1. Planteamos el problema: Tenemos un prisma triangular recto con volumen $V = \frac{1}{2}Bh$, donde $B$ es el área de la base triangular y $h$ es la altura del prisma. 2. Datos dados: La base del triángulo tiene un lado de longitud 12 unidades y los ángulos son 34°, 103° y 52°. 3. Para calcular $h$ y $V$, primero necesitamos encontrar el área $B$ de la base triangular. 4. Usamos la fórmula del área de un triángulo con dos lados y el ángulo entre ellos: $$B = \frac{1}{2}ab\sin(C)$$ 5. Identificamos los lados y el ángulo: el lado dado es 12, y el ángulo opuesto a ese lado es 103°. 6. Usamos la Ley de los Senos para encontrar los otros lados $a$ y $b$: $$\frac{a}{\sin(34^\circ)} = \frac{12}{\sin(103^\circ)} = \frac{b}{\sin(52^\circ)}$$ 7. Calculamos $a$: $$a = \frac{12 \sin(34^\circ)}{\sin(103^\circ)}$$ 8. Calculamos $b$: $$b = \frac{12 \sin(52^\circ)}{\sin(103^\circ)}$$ 9. Ahora calculamos el área $B$ usando los lados $a$ y $b$ y el ángulo entre ellos, que es 103°: $$B = \frac{1}{2} a b \sin(103^\circ)$$ 10. Sustituimos $a$ y $b$ en la fórmula de $B$: $$B = \frac{1}{2} \left(\frac{12 \sin(34^\circ)}{\sin(103^\circ)}\right) \left(\frac{12 \sin(52^\circ)}{\sin(103^\circ)}\right) \sin(103^\circ)$$ 11. Simplificamos: $$B = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times \frac{\sin(34^\circ) \sin(52^\circ)}{\sin(103^\circ)}$$ 12. Calculamos los valores numéricos: $\sin(34^\circ) \approx 0.5592$ $\sin(52^\circ) \approx 0.7880$ $\sin(103^\circ) \approx 0.9744$ 13. Sustituimos: $$B = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{0.5592 \times 0.7880}{0.9744} = 72 \times \frac{0.4407}{0.9744} \approx 72 \times 0.4523 = 32.56$$ 14. Ahora, para (a) calcular $h$, necesitamos más información. Si el volumen $V$ es conocido, podemos despejar $h$: $$h = \frac{2V}{B}$$ 15. Para (b) calcular $V$, si $h$ es conocido, usamos: $$V = \frac{1}{2} B h$$ 16. Sin valores adicionales para $h$ o $V$, no podemos calcular numéricamente $h$ ni $V$. Si se da $V$ o $h$, podemos usar las fórmulas anteriores para calcular el otro valor. Respuesta final: - Área de la base $B \approx 32.56$ unidades cuadradas. - Fórmulas para calcular $h$ y $V$: $$h = \frac{2V}{B}$$ $$V = \frac{1}{2} B h$$