1. Planteamos el problema: Tenemos un cilindro de revolución y un cono circular recto inscrito en él, con la base del cono coincidiendo con una base del cilindro. 2. Datos y variables: Sea $r$ el radio de la base del cilindro y del cono, y $h$ la altura del cilindro. La altura del cono también es $h$ porque está inscrito y su base coincide con la del cilindro. 3. Fórmulas de volumen: - Volumen del cilindro: $$V_c = \pi r^2 h$$ - Volumen del cono: $$V_{co} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ 4. Según el problema, la suma de los volúmenes es $$V_c + V_{co} = 2000 \pi$$ 5. Sustituimos las fórmulas: $$\pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^2 h = 2000 \pi$$ 6. Factorizamos $$\pi r^2 h$$: $$\pi r^2 h \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 2000 \pi$$ 7. Simplificamos el paréntesis: $$\pi r^2 h \cdot \frac{4}{3} = 2000 \pi$$ 8. Dividimos ambos lados entre $$\pi$$: $$r^2 h \cdot \frac{4}{3} = 2000$$ 9. Despejamos $$r^2 h$$: $$r^2 h = 2000 \cdot \frac{3}{4} = 1500$$ 10. Calculamos el volumen del cono: $$V_{co} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 1500 = 500 \pi$$ Respuesta final: El volumen del cono es $$500 \pi$$ decímetros cúbicos.