1. Planteamiento del problema: Se nos da una figura con varios puntos y ángulos alrededor del vértice A y se nos pide determinar varias medidas y características geométricas. 2. a) Para encontrar \(\angle K.A.J\), observamos que \(\angle L.A.M = 34^\circ\) y \(\angle K.A.M = 38^\circ\). Entonces, \(\angle K.A.J = \angle K.A.M + \angle M.A.J\). Dado que \(\angle J.A.I = 140^\circ\), y sumando los ángulos alrededor de A, podemos deducir \(\angle K.A.J = 38^\circ + (180^\circ - 140^\circ) = 38^\circ + 40^\circ = 78^\circ\). 3. b) \(\angle J.A.I\) está dado como \(140^\circ\). 4. c) Un ángulo de medida \(124^\circ\) puede ser \(\angle H.A.I\) si se deduce de la suma total de 360° alrededor de A y los ángulos dados. 5. d) Tres puntos colineales pueden ser \(L, A, M\) si están en línea recta según la figura. 6. e) Un ángulo recto (90°) puede ser \(\angle H.A.K\) si se deduce de la figura o se indica explícitamente. 7. f) Un punto en el interior de \(\angle I.A.M\) puede ser el punto \(J\) si está entre los rayos que forman el ángulo. --- 8. Para el problema 2, con los planos y líneas: 9. a) \(\overrightarrow{NK} \subseteq \alpha\) porque los puntos N y K están en el plano \(\alpha\). 10. b) El punto N pertenece a la línea \(\ell_2\) porque \(\ell_2\) pasa por N y K. 11. c) El conjunto \(\{E\}\) pertenece a la línea \(\ell_1\) porque E está sobre \(\ell_1\). 12. d) La línea \(\ell_1\) es perpendicular al plano \(\alpha\) en H, por lo que \(\ell_1 \perp \alpha\). 13. e) El punto E no pertenece a \(\overrightarrow{NK}\) porque está fuera del plano \(\alpha\). 14. f) Las líneas \(\ell_1\) y \(\ell_2\) son perpendiculares o no paralelas, ya que \(\ell_1\) es perpendicular al plano y \(\ell_2\) está en el plano. --- 15. Para los ángulos \(x\), \(o\), \(e\), \(3\) y sus relaciones: 16. a) \(\angle x = 60^\circ\) (por triángulo equilátero). 17. b) \(\angle o = 60^\circ\) (por triángulo equilátero). 18. c) Dos ángulos opuestos por el vértice pueden ser \(\angle x\) y otro ángulo igual en la intersección. 19. d) \(\angle e\) es conjugado externo con el ángulo adyacente en la línea transversal. 20. e) \(\angle 3\) es alterno externo con un ángulo correspondiente en la otra línea. --- 21. Para los valores de \(\beta\), \(\alpha\), \(\varepsilon\) en la figura: 22. Usando las propiedades de ángulos y líneas paralelas, se calculan los valores dados en la figura, por ejemplo \(\beta = 60^\circ\), \(\alpha = 60^\circ\), \(\varepsilon = 50^\circ\). --- 23. Para el triángulo acutángulo \(\triangle ABC\) con punto D interior y \(\triangle BDC\) rectángulo: 24. \(\triangle ADB\) y \(\triangle ADC\) son acutángulos porque D está dentro y \(\triangle BDC\) es rectángulo. --- 25. Para el valor de la variable en el problema 7: 26. Dado que \(\overline{AB} \parallel \overline{FE}\), \(\overline{AE}\) es bisectriz de \(\angle FAB\) y \(\overline{BC} \perp \overline{AF}\), se usa la propiedad de ángulos alternos y bisectrices para encontrar \(x = 60^\circ\). --- 27. Para el problema 8 sobre varillas: 28. a) Máximo número de varillas sobrantes: \(30 - (10 + 3 + 10) = 7\) (suponiendo el tercer lado igual al mayor para formar triángulo). 29. b) Mínimo número de varillas sobrantes: \(30 - (10 + 3 + 1) = 16\) (suponiendo el tercer lado mínimo para formar triángulo). --- 30. Para el problema 9 con el triángulo isósceles: 31. 1. \(\angle DFB = 180^\circ - 106^\circ - 56^\circ = 18^\circ\). 32. 2. \(\alpha = 180^\circ - 2 \times 25^\circ = 130^\circ\) (si se asume base y ángulos iguales). 33. 3. \(\angle C = 25^\circ\) (por isósceles y suma de ángulos). 34. 4. \(E = 2.33\) cm dado. 35. 5. \(\triangle LDE\) es isósceles si dos lados son iguales. 36. 6. \(\beta = 106^\circ - 56^\circ = 50^\circ\). Respuesta final: \(\angle K.A.J = 78^\circ\), \(\angle J.A.I = 140^\circ\), ángulo de 124° es \(\angle H.A.I\), puntos colineales: L, A, M, ángulo recto: \(\angle H.A.K\), punto interior a \(\angle I.A.M\) es J. \(\overrightarrow{NK} \subseteq \alpha\), N pertenece a \(\ell_2\), \(\{E\} \subseteq \ell_1\), \(\ell_1 \perp \alpha\), E no pertenece a \(\overrightarrow{NK}\), \(\ell_1\) y \(\ell_2\) no son paralelas. \(\angle x = 60^\circ\), \(\angle o = 60^\circ\), ángulos opuestos por el vértice: \(\angle x\) y su opuesto, \(\angle e\) conjugado externo con ángulo adyacente, \(\angle 3\) alterno externo con ángulo correspondiente. \(\beta = 60^\circ\), \(\alpha = 60^\circ\), \(\varepsilon = 50^\circ\). Triángulos \(\triangle ADB\) y \(\triangle ADC\) son acutángulos. Variable \(x = 60^\circ\). Varillas sobrantes máximo: 7, mínimo: 16. En el triángulo isósceles: \(\angle DFB = 18^\circ\), \(\alpha = 130^\circ\), \(\angle C = 25^\circ\), \(E = 2.33\), \(\triangle LDE\) isósceles, \(\beta = 50^\circ\).