1. El problema trata sobre las propiedades y relaciones de ángulos en triángulos y otras figuras geométricas. 2. La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre $$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ$$. 3. En un trapecio o figura con ángulos adyacentes, se cumple que $$m + n = x + y$$. 4. El ángulo $$x$$ puede expresarse como el promedio de dos ángulos: $$x = \frac{a+b}{2}$$. 5. La suma de ángulos alrededor de un punto es $$x + y + z = 360^\circ$$. 6. En un triángulo subdividido, la suma de ángulos es $$x = a + b + c$$. 7. La desigualdad triangular para lados de un triángulo es $$b - c < a < b + c$$. 8. Ángulos relacionados con lados y ángulos opuestos cumplen $$a > b \iff \alpha > \beta$$. 9. Ángulos complementarios y suplementarios se expresan como $$x + y = 180^\circ$$ y $$x + y = 180^\circ + a$$. 10. Ángulos en triángulos isósceles y equiláteros tienen propiedades como $$x = 90^\circ + \frac{a}{2}$$, $$x = 90^\circ - \frac{a}{2}$$, $$x = 45^\circ - \frac{a}{4}$$. Estas fórmulas y criterios permiten construir y analizar triángulos y otras figuras geométricas con precisión. Respuesta final: Las relaciones clave para triángulos y figuras relacionadas son $$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ$$, $$m + n = x + y$$, $$x = \frac{a+b}{2}$$, $$x + y + z = 360^\circ$$, $$b - c < a < b + c$$, y $$a > b \iff \alpha > \beta$$, entre otras.