1. Enunciado del problema. Se tiene un prisma triangular recto cuya cara triangular muestra un lado de longitud 12.0 y ángulos en la base de 34° y 52°, y la altura marcada como $h$. 2. Fórmula y reglas importantes. Para relaciones entre lados y ángulos en un triángulo usamos la ley de los senos: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$. El área de un triángulo con base $b$ y altura $H$ es $\frac{1}{2}bH$. El volumen de un prisma recto es el área de la base multiplicada por la altura del prisma. 3. Cálculo del ángulo restante. El tercer ángulo del triángulo es $C=180^\circ-34^\circ-52^\circ=94^\circ$. 4. Expresión para la altura $h$ del triángulo con base $AB=12.0$. Si llamamos $AB=12.0$ y la altura desde el vértice opuesto al lado $AB$ es $h$, usando la ley de los senos y la definición de altura obtenemos $$h=AC\sin A\;\text{con}\;AC=AB\frac{\sin B}{\sin C}$$ De ahí $$h=AB\frac{\sin A\sin B}{\sin C}\;.$$ 5. Sustituyendo los valores dados obtenemos la expresión exacta para $h$. $$h=12.0\cdot \frac{\sin(34^\circ)\sin(52^\circ)}{\sin(94^\circ)}\;.$$ 6. Área de la base triangular $B_{tri}$. El área del triángulo con base $AB=12.0$ y altura $h$ es $$B_{tri}=\frac{1}{2}\cdot 12.0\cdot h=6.0\,h\;.$$ 7. Volumen del prisma $V$ y su expresión exacta. El volumen de un prisma recto es el área de la base multiplicada por la altura del prisma. Si la altura del prisma es la misma $h$ indicada en la figura (según el enunciado), entonces $$V=B_{tri}\cdot h=6.0\,h^2\;.$$ Sustituyendo la expresión exacta de $h$ se obtiene la expresión exacta de $V$: $$V=6.0\left(12.0\cdot \frac{\sin(34^\circ)\sin(52^\circ)}{\sin(94^\circ)}\right)^2\;.$$ 8. Respuestas finales (forma exacta). (a) $$h=12.0\cdot \frac{\sin(34^\circ)\sin(52^\circ)}{\sin(94^\circ)}\;.$$ (b) $$V=6.0\left(12.0\cdot \frac{\sin(34^\circ)\sin(52^\circ)}{\sin(94^\circ)}\right)^2\;. $$