1. Planteamos el problema: Tenemos un triángulo rectángulo con catetos $2x-1$ y $2x+2$, y la hipotenusa $3x$. Debemos hallar su perímetro. 2. Recordemos que en un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras, se cumple: $$\text{hipotenusa}^2 = \text{cateto}_1^2 + \text{cateto}_2^2$$ 3. Aplicamos el teorema: $$ (3x)^2 = (2x - 1)^2 + (2x + 2)^2 $$ 4. Calculamos cada término: $$ 9x^2 = (2x - 1)^2 + (2x + 2)^2 $$ $$ 9x^2 = (4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 + 8x + 4) $$ 5. Sumamos los términos del lado derecho: $$ 9x^2 = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 8x + 4 $$ $$ 9x^2 = 8x^2 + 4x + 5 $$ 6. Pasamos todos los términos a un lado para igualar a cero: $$ 9x^2 - 8x^2 - 4x - 5 = 0 $$ $$ x^2 - 4x - 5 = 0 $$ 7. Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Donde $a=1$, $b=-4$, $c=-5$. 8. Calculamos el discriminante: $$ \Delta = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 $$ 9. Calculamos las raíces: $$ x = \frac{4 \pm 6}{2} $$ 10. Dos soluciones: - $$ x = \frac{4 + 6}{2} = 5 $$ - $$ x = \frac{4 - 6}{2} = -1 $$ 11. Como $x$ debe ser positivo para que las longitudes tengan sentido, tomamos $x=5$. 12. Calculamos las longitudes: - Cateto 1: $2(5) - 1 = 10 - 1 = 9$ - Cateto 2: $2(5) + 2 = 10 + 2 = 12$ - Hipotenusa: $3(5) = 15$ 13. Finalmente, el perímetro es la suma de los tres lados: $$ P = 9 + 12 + 15 = 36 $$ **Respuesta:** El perímetro del triángulo es 36.