1. Planteamos el problema: Tenemos un terreno cuadrado de lado $200$ m y en su centro un círculo de radio $50$ m. 2. La luz LED se coloca en líneas desde los vértices del cuadrado hasta que toquen el círculo en un solo punto, es decir, desde cada vértice hasta el punto de tangencia con el círculo. 3. Para encontrar la longitud de cada línea de luz, calculamos la distancia desde un vértice del cuadrado hasta el punto de tangencia con el círculo. 4. El cuadrado tiene lado $200$ m, por lo que sus vértices están a $100$ m del centro en cada dirección (ya que el centro está en el medio). 5. La distancia desde el centro a un vértice es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $100$ m y $100$ m: $$d = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2} \approx 141.42\,m$$ 6. El círculo tiene radio $50$ m, por lo que la línea de luz va desde el vértice hasta el punto de tangencia, que está a $50$ m del centro. 7. La longitud de la luz LED desde el vértice hasta el punto de tangencia es la diferencia entre la distancia del vértice al centro y el radio del círculo: $$L = d - r = 100\sqrt{2} - 50 \approx 141.42 - 50 = 91.42\,m$$ 8. Como el cuadrado tiene 4 vértices y en cada uno se coloca una línea de luz, la longitud total de luces LED es: $$4 \times L = 4 \times 91.42 = 365.68\,m$$ **Respuesta final:** Se deben comprar aproximadamente $365.68$ metros de luces LED.