1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un círculo con centro en O y radio $r=2$ km. El ángulo central formado por los radios $\overline{OA}$ y $\overline{OB}$ es $20^\circ$. Se pide hallar la longitud del arco $AB$ y el área del sector circular sombreado. 2. **Fórmulas importantes:** - Longitud del arco $s$ de un círculo: $$s = r \theta$$ donde $\theta$ es el ángulo en radianes. - Área del sector circular $A$: $$A = \frac{1}{2} r^2 \theta$$ donde $\theta$ está en radianes. 3. **Conversión de grados a radianes:** Recordemos que $$1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$$ Entonces, $$20^\circ = 20 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{9} \text{ rad}$$ 4. **Cálculo de la longitud del arco $AB$:** Usamos $$s = r \theta = 2 \times \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{9} \text{ km}$$ 5. **Cálculo del área del sector sombreado:** Usamos $$A = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 2^2 \times \frac{\pi}{9} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{9} \text{ km}^2$$ **Respuesta final:** - Longitud de $AB = \frac{2\pi}{9}$ km - Área de la región sombreada $= \frac{2\pi}{9}$ km$^2$ Ambas respuestas están en términos exactos de $\pi$ y con las unidades correctas.