1. Planteamos el problema: Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $(0,2)$, $(4,0)$ y $(2,-4)$. 2. La ecuación general de una circunferencia es $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ donde $D$, $E$ y $F$ son constantes a determinar. 3. Sustituimos cada punto en la ecuación para obtener un sistema de tres ecuaciones: - Para $(0,2)$: $$0^2 + 2^2 + D\cdot0 + E\cdot2 + F = 0 \Rightarrow 4 + 2E + F = 0$$ - Para $(4,0)$: $$4^2 + 0^2 + D\cdot4 + E\cdot0 + F = 0 \Rightarrow 16 + 4D + F = 0$$ - Para $(2,-4)$: $$2^2 + (-4)^2 + D\cdot2 + E\cdot(-4) + F = 0 \Rightarrow 4 + 16 + 2D - 4E + F = 0 \Rightarrow 20 + 2D - 4E + F = 0$$ 4. Escribimos el sistema: $$\begin{cases} 2E + F = -4 \\ 4D + F = -16 \\ 2D - 4E + F = -20 \end{cases}$$ 5. Restamos la primera ecuación de la tercera para eliminar $F$: $$(2D - 4E + F) - (2E + F) = -20 - (-4) \Rightarrow 2D - 6E = -16$$ 6. Restamos la segunda ecuación de la tercera para eliminar $F$: $$(2D - 4E + F) - (4D + F) = -20 - (-16) \Rightarrow -2D - 4E = -4$$ 7. Ahora tenemos el sistema: $$\begin{cases} 2D - 6E = -16 \\ -2D - 4E = -4 \end{cases}$$ 8. Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $D$: $$(2D - 6E) + (-2D - 4E) = -16 + (-4) \Rightarrow -10E = -20 \Rightarrow E = 2$$ 9. Sustituimos $E=2$ en la primera ecuación: $$2D - 6(2) = -16 \Rightarrow 2D - 12 = -16 \Rightarrow 2D = -4 \Rightarrow D = -2$$ 10. Sustituimos $D=-2$ y $E=2$ en la primera ecuación original para hallar $F$: $$2(2) + F = -4 \Rightarrow 4 + F = -4 \Rightarrow F = -8$$ 11. La ecuación de la circunferencia es: $$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 8 = 0$$ 12. Para verificar, podemos completar el cuadrado: $$x^2 - 2x + y^2 + 2y = 8$$ $$ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 8 + 1 + 1$$ $$ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 10$$ Esto representa una circunferencia con centro en $(1,-1)$ y radio $\sqrt{10}$. Respuesta final: La ecuación de la circunferencia es $$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 8 = 0$$.