1. Problema: Calcular el área y volumen de varios cuerpos geométricos con dimensiones algebraicas dadas. 2. Fórmulas importantes: - Área de un cubo: $$A = 6a^2$$ donde $a$ es la longitud del lado. - Volumen de un cubo: $$V = a^3$$ - Área de un prisma rectangular: $$A = 2(lw + lh + wh)$$ donde $l$, $w$, $h$ son largo, ancho y alto. - Volumen de un prisma rectangular: $$V = lwh$$ - Área de un prisma triangular: $$A = bh + ext{área de las caras laterales}$$ (no se pide área lateral aquí, solo base y volumen) - Volumen de un prisma triangular: $$V = \text{área base} \times \text{longitud}$$ - Área de una esfera: $$A = 4\pi r^2$$ - Volumen de una esfera: $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$ - Área de un cilindro: $$A = 2\pi r(h + r)$$ - Volumen de un cilindro: $$V = \pi r^2 h$$ 3. Cálculos: **Cubo azul** con lado $$-2x^2$$: - Área: $$A = 6(-2x^2)^2 = 6(4x^4) = 24x^4$$ - Volumen: $$V = (-2x^2)^3 = -8x^6$$ **Prisma rectangular naranja** con ancho $$3x + y$$, alto $$2y$$, profundidad $$x$$: - Área: $$A = 2[(3x + y)(2y) + (3x + y)(x) + (2y)(x)]$$ $$= 2[6xy + 2y^2 + 3x^2 + xy + 2xy] = 2[3x^2 + 9xy + 2y^2] = 6x^2 + 18xy + 4y^2$$ - Volumen: $$V = (3x + y)(2y)(x) = 2xy(3x + y) = 6x^2 y + 2xy^2$$ **Prisma triangular verde** con base triangular lados $$x$$ y $$x^2$$, longitud $$x^3 - 2$$: - Área base (triángulo): $$A_{base} = \frac{1}{2} x \cdot x^2 = \frac{1}{2} x^3$$ - Volumen: $$V = A_{base} \times \text{longitud} = \frac{1}{2} x^3 (x^3 - 2) = \frac{1}{2} (x^6 - 2x^3) = \frac{x^6}{2} - x^3$$ **Esfera azul claro** con radio $$2x^3$$: - Área: $$A = 4\pi (2x^3)^2 = 4\pi 4x^6 = 16\pi x^6$$ - Volumen: $$V = \frac{4}{3} \pi (2x^3)^3 = \frac{4}{3} \pi 8x^9 = \frac{32}{3} \pi x^9$$ **Cilindro azul oscuro** con radio $$x^3$$ y altura $$3x + 2y$$: - Área: $$A = 2\pi x^3 (3x + 2y + x^3) = 2\pi x^3 (3x + 2y + x^3)$$ - Volumen: $$V = \pi (x^3)^2 (3x + 2y) = \pi x^6 (3x + 2y) = 3\pi x^7 + 2\pi x^6 y$$ 4. Resumen final: - Cubo: $$A=24x^4$$, $$V=-8x^6$$ - Prisma rectangular: $$A=6x^2 + 18xy + 4y^2$$, $$V=6x^2 y + 2xy^2$$ - Prisma triangular: $$A_{base}=\frac{1}{2} x^3$$, $$V=\frac{x^6}{2} - x^3$$ - Esfera: $$A=16\pi x^6$$, $$V=\frac{32}{3} \pi x^9$$ - Cilindro: $$A=2\pi x^3 (3x + 2y + x^3)$$, $$V=3\pi x^7 + 2\pi x^6 y$$ Estos resultados permiten entender cómo calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos con expresiones algebraicas variables.