1. Problema 1: Ángulos y puntos en la figura con vértice A. 1. a) La medida de \(\angle KAJ\) se puede encontrar sumando los ángulos dados alrededor del punto A. Sabemos que \(\angle KAM = 38^\circ\) y \(\angle LAM = 34^\circ\), y que \(\angle KAJ\) incluye \(\angle KAM\) y \(\angle MAJ\). Dado que \(\angle HAJ = 140^\circ\), y sumando los ángulos alrededor de A da 360°, podemos deducir \(\angle KAJ = 360^\circ - (34^\circ + 38^\circ + 140^\circ) = 148^\circ\). 2. b) La medida de \(\angle JAH\) es el ángulo dado directamente: \(140^\circ\). 3. c) Un ángulo de medida 124° no está dado explícitamente, pero puede ser un ángulo externo o complementario en la figura, por ejemplo, \(\angle IAM = 124^\circ\) si se deduce de la suma de ángulos. 4. d) Tres puntos colineales pueden ser \(I, A, M\) si están en la misma línea. 5. e) Un ángulo recto es un ángulo de \(90^\circ\), que puede estar formado por \(\overline{NK}\) y \(\overline{BC}\) en la segunda figura o en la intersección de líneas perpendiculares. 6. f) Un punto en el interior de \(\angle IAM\) puede ser el punto A o un punto entre los rayos \(IA\) y \(AM\). 2. Problema 2: Relaciones entre puntos, líneas y planos. 1. a) \(\overline{NK} \subset \alpha\) porque N y K están en el plano \(\alpha\). 2. b) N pertenece a la línea \(\ell_2\), es decir, \(N \in \ell_2\). 3. c) El conjunto \(\{E\}\) pertenece a la línea \(\ell_3\), es decir, \(\{E\} \subset \ell_3\). 4. d) La línea \(\ell_1\) pertenece al plano \(\alpha\), es decir, \(\ell_1 \subset \alpha\). 5. e) El punto E pertenece a la línea \(\overline{NK}\) si está sobre ella, o no si está en \(\ell_3\) vertical. 6. f) Las líneas \(\ell_1\) y \(\ell_2\) son perpendiculares o se intersectan en \(\alpha\). 3. Problema 3: Ángulos en líneas intersectadas. 1. a) \(\angle x = 68^\circ\) dado. 2. b) \(\angle p = 68^\circ\) por ángulos opuestos por el vértice. 3. c) \(\angle e\) es conjugado externo con \(\angle p\). 4. d) \(\angle 3\) es alterno externo con \(\angle e\). 5. e) Dos ángulos opuestos por el vértice son \(\angle x\) y \(\angle p\). 4. Problema 4: Valores de ángulos dados. 1. \(\angle \beta = 50^\circ\) (dado). 2. \(\angle \alpha = 118^\circ\) (dado). 3. \(\angle \varepsilon = 180^\circ - (\beta + \theta) = 180^\circ - (50^\circ + ?)\) (se necesita \(\theta\) para calcular). 5. Problema 5: Clasificación de triángulos. 1. Triángulo equilátero: todos lados y ángulos iguales (60°, 60°, 60°). 2. Triángulo isósceles rectángulo: dos ángulos de 45°, lados 1, 1, \(\sqrt{2}\). 3. Triángulo isósceles acutángulo: dos lados iguales (20 cm), ángulos base 25°. 6. Problema 6: Clasificación de triángulos \(\triangle ADB\) y \(\triangle ADC\). - \(\triangle BDC\) es rectángulo. - \(\triangle ADB\) y \(\triangle ADC\) son acutángulos porque están dentro de \(\triangle ABC\) acutángulo. 7. Problema 7: Valor de la variable x. - Dado que \(\overline{AB} \parallel \overline{FE}\), \(\overline{AE}\) bisecta \(\angle FAB\), y \(\overline{BC} \perp \overline{AF}\). - \(\angle FAB = 120^\circ\), entonces \(\angle BAE = 60^\circ\). - Por propiedades de ángulos alternos y perpendiculares, \(x = 30^\circ\). 8. Problema 8: Varillas y estructura triangular. - Total varillas: 30. - Lado 1: 10 varillas, lado 2: 3 varillas. - a) Máximo sobrante: \(30 - (10 + 3 + 1) = 16\) (considerando el tercer lado mínimo 1 varilla). - b) Mínimo sobrante: \(30 - (10 + 3 + 10) = 7\) (si el tercer lado es igual al primero). 9. Problema 9: Triángulo isósceles y ángulos. 1. \(\angle DFB = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ\) (ángulos opuestos por el vértice). 2. \(\alpha = 56^\circ\) (dado en figura). 3. \(\angle C = 180^\circ - (\alpha + 25^\circ) = 99^\circ\). 4. \(E = 2.33\) cm (dado). 5. \(\triangle LDE\) es isósceles si dos lados iguales, o escaleno si no. 6. \(\beta = 180^\circ - (56^\circ + 74^\circ) = 50^\circ\). Respuesta final: a) \(\angle KAJ = 148^\circ\) b) \(\angle JAH = 140^\circ\) c) Ángulo 124° puede ser \(\angle IAM\) d) Puntos colineales: \(I, A, M\) e) Ángulo recto: \(90^\circ\) en intersección perpendicular f) Punto interior: A x) Valor de \(x = 30^\circ\) \n