1. Planteamiento del problema: Tenemos un círculo con $\overline{EG}$ como diámetro y $\overline{EH}$ como tangente en el punto $E$. Se nos da que $m \angle EF = 146^\circ$ y debemos hallar: (a) $\angle FEG$ (b) $\angle FEH$ 2. Datos importantes y fórmulas: - $\overline{EG}$ es diámetro, por lo que $\angle EFG$ es un ángulo inscrito que intercepta un semicírculo, entonces $\angle EFG = 90^\circ$. - La tangente en un punto de un círculo es perpendicular al radio en ese punto, por lo que $\angle FEH$ es el ángulo entre la cuerda $EF$ y la tangente $EH$ en $E$. - La medida del ángulo entre una cuerda y una tangente es igual al ángulo inscrito que subtiende la cuerda en el círculo. 3. Hallar $\angle FEG$: Sabemos que $m \angle EF = 146^\circ$ es el ángulo externo formado por las líneas $EF$ y $EG$ en el punto $E$. El ángulo $\angle FEG$ es el ángulo interior entre $EF$ y $EG$ en $E$. Como $\angle EF$ y $\angle FEG$ son ángulos suplementarios (forman línea recta), entonces: $$\angle FEG = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$ 4. Hallar $\angle FEH$: El ángulo entre la cuerda $EF$ y la tangente $EH$ en $E$ es igual al ángulo inscrito que subtiende la cuerda $EF$ en el círculo, que es $\angle EFG$. Como $\overline{EG}$ es diámetro, $\angle EFG = 90^\circ$. Por lo tanto: $$\angle FEH = 90^\circ$$ Respuesta final: (a) $\angle FEG = 34^\circ$ (b) $\angle FEH = 90^\circ$