1. Planteamos el problema: Encontrar el vector director de la altura desde el vértice B al lado opuesto AC en el triángulo con vértices \(A=(1,2,-4)\), \(B=(3,1,-3)\) y \(C=(5,1,-7)\). 2. Recordemos que la altura es una recta que pasa por el vértice y es perpendicular al lado opuesto. Por lo tanto, el vector director de la altura es perpendicular al vector \(\overrightarrow{AC}\). 3. Calculamos el vector \(\overrightarrow{AC} = C - A = (5-1, 1-2, -7+4) = (4, -1, -3)\). 4. La altura desde B es perpendicular a \(\overrightarrow{AC}\), por lo que el vector director de la altura es paralelo al vector \(\overrightarrow{BD} = D - B\), donde \(D\) es el pie de la perpendicular desde B a AC. 5. Para encontrar \(\overrightarrow{BD}\), proyectamos \(\overrightarrow{BA} = A - B = (1-3, 2-1, -4+3) = (-2, 1, -1)\) sobre \(\overrightarrow{AC}\): \[ \text{Proyección} = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|^2} \overrightarrow{AC} \] 6. Calculamos el producto punto: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2)(4) + (1)(-1) + (-1)(-3) = -8 -1 + 3 = -6 \] 7. Calculamos la norma al cuadrado de \(\overrightarrow{AC}\): \[ \|\overrightarrow{AC}\|^2 = 4^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26 \] 8. Entonces la proyección es: \[ \frac{-6}{26} (4, -1, -3) = \left(\frac{-24}{26}, \frac{6}{26}, \frac{18}{26}\right) = \left(-\frac{12}{13}, \frac{3}{13}, \frac{9}{13}\right) \] 9. El vector \(\overrightarrow{BD} = \text{proyección} - \overrightarrow{BA} = \left(-\frac{12}{13} + 2, \frac{3}{13} - 1, \frac{9}{13} + 1\right) = \left(\frac{14}{13}, -\frac{10}{13}, \frac{22}{13}\right)\). 10. Por lo tanto, el vector director de la altura desde B es: $$\begin{pmatrix} \frac{14}{13} \\ -\frac{10}{13} \\ \frac{22}{13} \end{pmatrix}$$ 11. La opción correcta es la c.